Analyse Du Comportement Des Consommateurs Tunisiens Vis-à-vis La Mode
Nour ElHouda Ben Ali
2022-12-25
Présentation Du Questionnaire
Ce questionnaire a été réalisé dans le cadre d’un projet académique pour la matière Analyse De Données dédiée aux étudiants du “M1 Big Data, Intelligence Artificielle” au sein l’Université Paris Dauphine|Tunis.
Le questionnaire comporte plusieurs questions afin de comprendre le comportement des consommateurs tunisiens vis-à-vis la mode.
ACP Normée
L’objectif De L’ACP
L’ACP permet de décrire un jeu de données, de le résumer, d’en réduire la dimensionnalité. L’ACP réalisée sur les individus du tableau de données répond à différentes questions :
Etude des individus (i.e. les consommateurs) : deux consommateurs sont proches s’ils ont des résultats similaires. On s’intéresse à la variabilité entre individus. Y a-t-il des similarités entre les individus pour toutes les variables ? Peut-on établir des profils de consommateurs ? Peut-on opposer un groupe d’individus à un autre ?
Etude des variables (i.e. des comportements) : on étudie les liaisons linéaires entre les variables. Les objectifs sont de résumer la matrice des corrélations et de chercher des variables synthétiques: peut-on résumer les comportements des consommateurs par un petit nombre de variables ?
Lien entre les deux études : peut-on caractériser des groups d’individus par des variables ?
L’ACP comporte plusieurs parties :
Fréquence d’achat
Style vestimentaire
Les critères d’achat
Les vêtements les plus occurants chez les consommateurs
Importation Et Exploration Des données
On commence tout d’abord par importer notre jeu de données.
file<- 'Formulaire.csv'
data<-read.csv(file)data## Horodateur Genre Âge Catégorie.socio.professionnelle
## 1 01/12/2022 20:25:36 Femme 18-24 Etudiant
## 2 01/12/2022 20:31:26 Homme 18-24 Etudiant
## 3 01/12/2022 20:33:48 Femme 18-24 Etudiant
## 4 01/12/2022 20:35:03 Homme 18-24 Etudiant
## 5 01/12/2022 20:35:31 Homme 18-24 Etudiant
## 6 01/12/2022 20:40:47 Homme 18-24 Etudiant
## 7 01/12/2022 20:42:23 Homme 18-24 Etudiant
## 8 01/12/2022 20:43:21 Homme 18-24 Etudiant
## 9 01/12/2022 20:47:18 Femme 18-24 Etudiant
## 10 01/12/2022 20:57:46 Homme 18-24 Etudiant
## 11 01/12/2022 20:57:55 Femme 18-24 Etudiant
## 12 01/12/2022 21:00:57 Femme 18-24 Etudiant
## 13 01/12/2022 21:13:30 Femme 18-24 Etudiant
## 14 01/12/2022 21:23:23 Femme 18-24 Etudiant
## 15 01/12/2022 21:26:40 Homme 18-24 Etudiant
## 16 01/12/2022 21:44:47 Femme 18-24 Etudiant
## 17 01/12/2022 22:13:11 Femme 18-24 Etudiant
## 18 01/12/2022 22:42:15 Femme 18-24 Etudiant
## 19 01/12/2022 23:00:23 Homme 18-24 Etudiant
## 20 01/12/2022 23:08:25 Homme 18-24 Etudiant
## 21 02/12/2022 06:05:48 Femme 18-24 Etudiant
## 22 02/12/2022 11:38:45 Femme 18-24 Etudiant
## 23 02/12/2022 14:52:02 Femme 18-24 Etudiant
## 24 02/12/2022 15:12:40 Femme 18-24 Etudiant
## 25 02/12/2022 17:25:57 Femme 18-24 Etudiant
## 26 02/12/2022 18:37:09 Homme 18-24 Etudiant
## 27 04/12/2022 15:29:46 Femme 18-24 Etudiant
## 28 07/12/2022 10:58:05 Femme 18-24 Etudiant
## 29 07/12/2022 11:05:29 Homme 18-24 Etudiant
## 30 07/12/2022 11:26:48 Femme 18-24 Etudiant
## 31 07/12/2022 11:32:01 Homme 25-34 Etudiant
## 32 07/12/2022 11:33:01 Femme -18 Retraité
## 33 07/12/2022 11:43:40 Femme 18-24 Etudiant
## 34 07/12/2022 11:44:17 Homme 18-24 Employé
## 35 07/12/2022 11:48:25 Femme 18-24 Etudiant
## 36 07/12/2022 11:57:48 Femme 18-24 Etudiant
## 37 07/12/2022 11:58:23 Femme 18-24 Etudiant
## 38 07/12/2022 12:07:51 Homme 18-24 Etudiant
## 39 07/12/2022 12:47:38 Femme 18-24 Etudiant
## 40 07/12/2022 13:31:19 Femme 18-24 Etudiant
## 41 07/12/2022 13:34:43 Femme 18-24 Demandeur d'emploi
## 42 07/12/2022 13:37:43 Homme 18-24 Etudiant
## 43 07/12/2022 14:51:44 Femme 18-24 Etudiant
## 44 07/12/2022 16:03:40 Homme 18-24 Etudiant
## 45 07/12/2022 18:27:32 Femme 45-54 Employé
## 46 07/12/2022 18:46:25 Homme 18-24 Etudiant
## 47 07/12/2022 18:46:47 Femme 18-24 Etudiant
## 48 07/12/2022 19:27:08 Femme 18-24 Etudiant
## 49 07/12/2022 20:08:00 Femme 18-24 Etudiant
## 50 07/12/2022 20:29:45 Femme 25-34 Employé
## 51 07/12/2022 21:16:02 Homme 18-24 Etudiant
## 52 07/12/2022 21:54:47 Homme 18-24 Etudiant
## 53 07/12/2022 23:06:32 Femme 18-24 Etudiant
## 54 07/12/2022 23:56:18 Homme 18-24 Etudiant
## 55 08/12/2022 00:42:10 Homme 18-24 Etudiant
## 56 08/12/2022 22:09:26 Homme 18-24 Etudiant
## 57 09/12/2022 05:36:47 Homme +54 Profession libérale
## 58 23/12/2022 11:17:13 Femme 35-44 Sans activité professionnelle
## 59 23/12/2022 13:11:36 Femme 35-44 Profession libérale
## 60 23/12/2022 13:24:57 Femme 18-24 Etudiant
## 61 23/12/2022 13:26:45 Femme 18-24 Lycéen
## 62 23/12/2022 13:27:01 Femme 25-34 Employé
## 63 23/12/2022 15:26:05 Homme 18-24 Etudiant
## 64 25/12/2022 14:43:48 Femme 45-54 Sans activité professionnelle
## 65 25/12/2022 14:48:08 Femme -18 Lycéen
## 66 25/12/2022 14:54:16 Femme +54 Sans activité professionnelle
## Sensible.à.la.mode Toutes.les.semaines
## 1 3 1
## 2 3 1
## 3 4 1
## 4 2 3
## 5 3 2
## 6 4 1
## 7 2 1
## 8 3 1
## 9 4 2
## 10 3 2
## 11 4 2
## 12 2 1
## 13 4 1
## 14 4 1
## 15 3 1
## 16 5 3
## 17 3 1
## 18 3 1
## 19 2 1
## 20 3 1
## 21 3 1
## 22 5 1
## 23 3 1
## 24 3 2
## 25 3 1
## 26 2 2
## 27 3 1
## 28 3 2
## 29 2 1
## 30 3 2
## 31 4 1
## 32 5 5
## 33 3 1
## 34 4 1
## 35 5 2
## 36 3 2
## 37 4 3
## 38 5 2
## 39 4 1
## 40 3 2
## 41 4 1
## 42 2 1
## 43 4 2
## 44 4 3
## 45 1 1
## 46 1 1
## 47 1 1
## 48 3 2
## 49 3 3
## 50 2 2
## 51 3 1
## 52 3 3
## 53 4 1
## 54 2 1
## 55 2 1
## 56 2 2
## 57 4 1
## 58 4 2
## 59 3 1
## 60 4 2
## 61 3 1
## 62 4 3
## 63 5 1
## 64 5 2
## 65 5 2
## 66 4 2
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines Au.moins.une.fois.par.mois
## 1 3 3
## 2 2 4
## 3 1 4
## 4 4 4
## 5 2 4
## 6 2 4
## 7 1 5
## 8 2 5
## 9 2 4
## 10 2 3
## 11 4 4
## 12 1 1
## 13 1 2
## 14 1 3
## 15 1 3
## 16 3 4
## 17 1 3
## 18 1 3
## 19 1 1
## 20 1 5
## 21 1 2
## 22 1 4
## 23 1 1
## 24 3 5
## 25 1 1
## 26 2 2
## 27 1 1
## 28 2 5
## 29 2 3
## 30 3 5
## 31 2 3
## 32 5 5
## 33 1 2
## 34 1 5
## 35 3 3
## 36 4 5
## 37 4 2
## 38 4 5
## 39 4 4
## 40 2 3
## 41 1 4
## 42 1 3
## 43 2 4
## 44 4 5
## 45 1 1
## 46 1 2
## 47 1 4
## 48 4 4
## 49 4 5
## 50 2 5
## 51 3 4
## 52 3 3
## 53 2 4
## 54 2 3
## 55 1 3
## 56 2 4
## 57 1 3
## 58 3 4
## 59 1 3
## 60 4 5
## 61 4 5
## 62 4 4
## 63 1 3
## 64 2 2
## 65 2 5
## 66 4 5
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois
## 1 4 5
## 2 2 2
## 3 4 1
## 4 1 1
## 5 5 5
## 6 3 1
## 7 5 5
## 8 4 1
## 9 1 1
## 10 3 3
## 11 2 2
## 12 5 4
## 13 3 4
## 14 5 5
## 15 4 5
## 16 4 1
## 17 4 5
## 18 4 4
## 19 1 5
## 20 2 1
## 21 4 5
## 22 2 1
## 23 4 1
## 24 2 1
## 25 3 2
## 26 3 4
## 27 5 5
## 28 5 2
## 29 4 5
## 30 1 1
## 31 4 5
## 32 5 5
## 33 4 5
## 34 1 1
## 35 3 3
## 36 3 3
## 37 1 1
## 38 1 1
## 39 4 4
## 40 3 2
## 41 4 4
## 42 3 3
## 43 2 2
## 44 1 1
## 45 4 1
## 46 3 4
## 47 5 5
## 48 5 4
## 49 1 1
## 50 5 5
## 51 3 2
## 52 4 3
## 53 3 2
## 54 4 5
## 55 4 5
## 56 5 3
## 57 4 4
## 58 4 2
## 59 1 1
## 60 5 5
## 61 2 1
## 62 1 1
## 63 4 5
## 64 2 2
## 65 1 1
## 66 1 1
## Plus.rarement Budget.d.achat Classique Casual Chic Sport Tendance
## 1 1 Entre 50 et 100 TND 4 5 4 4 3
## 2 1 Entre 200 et 500 TND 3 5 1 5 1
## 3 3 Entre 100 et 200 TND 4 3 5 5 5
## 4 1 Entre 100 et 200 TND 2 3 4 5 3
## 5 2 Entre 100 et 200 TND 1 4 3 4 2
## 6 1 Entre 100 et 200 TND 2 2 2 4 5
## 7 1 Entre 100 et 200 TND 1 4 2 5 1
## 8 1 Entre 200 et 500 TND 1 5 1 5 2
## 9 1 Entre 100 et 200 TND 2 2 2 2 2
## 10 3 Entre 100 et 200 TND 3 3 3 3 3
## 11 1 Entre 100 et 200 TND 3 4 3 4 4
## 12 1 Moins de 50 TND 2 4 5 3 3
## 13 4 Entre 50 et 100 TND 3 5 2 2 3
## 14 4 Moins de 50 TND 3 4 3 4 4
## 15 1 Entre 200 et 500 TND 5 5 5 4 3
## 16 1 Entre 200 et 500 TND 4 2 4 3 3
## 17 3 Entre 50 et 100 TND 3 5 2 4 3
## 18 2 Entre 50 et 100 TND 1 3 2 3 2
## 19 4 Moins de 50 TND 3 4 4 4 2
## 20 1 Entre 100 et 200 TND 2 4 2 3 2
## 21 3 Entre 100 et 200 TND 1 5 3 5 3
## 22 1 Entre 50 et 100 TND 3 4 5 2 3
## 23 1 Entre 50 et 100 TND 3 5 4 5 1
## 24 1 Moins de 50 TND 2 5 5 5 2
## 25 1 Entre 200 et 500 TND 5 5 5 2 2
## 26 4 Moins de 50 TND 2 3 4 4 2
## 27 3 Moins de 50 TND 5 5 2 5 4
## 28 1 Entre 200 et 500 TND 3 3 3 5 2
## 29 1 Plus de 500 TND 5 1 2 4 1
## 30 1 Entre 200 et 500 TND 4 5 4 4 4
## 31 3 Entre 100 et 200 TND 2 4 3 4 3
## 32 5 Moins de 50 TND 3 3 3 3 3
## 33 3 Entre 100 et 200 TND 1 4 3 5 3
## 34 1 Entre 100 et 200 TND 1 4 4 5 5
## 35 1 Entre 50 et 100 TND 3 3 3 1 3
## 36 3 Entre 50 et 100 TND 3 4 4 4 2
## 37 1 Entre 50 et 100 TND 3 5 3 5 5
## 38 1 Entre 50 et 100 TND 1 3 3 4 4
## 39 1 Entre 50 et 100 TND 5 5 5 5 5
## 40 1 Entre 50 et 100 TND 3 3 3 2 3
## 41 1 Entre 200 et 500 TND 2 4 4 4 3
## 42 2 Entre 100 et 200 TND 2 2 2 2 1
## 43 2 Entre 50 et 100 TND 3 3 1 3 2
## 44 1 Entre 100 et 200 TND 1 5 3 2 2
## 45 1 Entre 200 et 500 TND 5 5 5 5 5
## 46 3 Moins de 50 TND 4 4 2 2 1
## 47 3 Entre 50 et 100 TND 4 4 3 5 1
## 48 1 Entre 200 et 500 TND 5 4 3 2 1
## 49 1 Moins de 50 TND 3 5 4 5 3
## 50 5 Entre 50 et 100 TND 4 5 4 2 3
## 51 1 Entre 200 et 500 TND 4 4 2 3 3
## 52 3 Entre 200 et 500 TND 5 4 3 4 3
## 53 1 Entre 50 et 100 TND 2 5 4 3 4
## 54 1 Moins de 50 TND 2 2 2 3 3
## 55 1 Entre 100 et 200 TND 2 5 2 4 1
## 56 1 Entre 50 et 100 TND 1 5 4 5 3
## 57 4 Entre 200 et 500 TND 5 4 4 1 2
## 58 1 Entre 50 et 100 TND 5 3 4 5 3
## 59 1 Entre 100 et 200 TND 3 2 3 3 2
## 60 2 Entre 100 et 200 TND 3 4 5 2 4
## 61 1 Entre 50 et 100 TND 5 3 5 2 2
## 62 1 Entre 100 et 200 TND 1 5 4 3 5
## 63 1 Moins de 50 TND 2 5 4 4 5
## 64 5 Entre 50 et 100 TND 4 4 2 1 1
## 65 1 Entre 50 et 100 TND 1 3 3 5 4
## 66 1 Entre 100 et 200 TND 5 1 4 1 1
## Glamour Rock.n.roll Romantique.Bohème Fashionista Punk Hip.Hop
## 1 2 1 1 2 1 1
## 2 1 1 1 1 1 1
## 3 4 1 1 4 3 1
## 4 2 3 2 2 2 5
## 5 2 2 2 2 2 2
## 6 4 3 3 3 3 3
## 7 1 1 1 1 1 3
## 8 1 1 1 1 1 1
## 9 1 1 1 1 1 1
## 10 1 1 1 1 1 1
## 11 4 1 4 4 1 1
## 12 5 3 5 2 1 1
## 13 3 3 2 2 2 2
## 14 4 5 5 5 5 5
## 15 3 1 3 3 3 1
## 16 3 1 2 2 1 1
## 17 2 1 1 2 1 1
## 18 1 1 2 2 1 1
## 19 1 1 1 1 1 1
## 20 1 1 1 2 1 1
## 21 1 2 1 2 1 2
## 22 3 1 3 4 1 3
## 23 1 1 5 1 1 1
## 24 3 1 4 3 1 1
## 25 4 1 5 2 2 2
## 26 2 3 2 2 2 2
## 27 1 4 1 1 1 3
## 28 2 2 2 2 2 1
## 29 1 1 1 1 1 1
## 30 4 1 1 1 1 1
## 31 3 1 1 4 1 1
## 32 3 3 3 3 3 3
## 33 1 1 3 2 2 1
## 34 1 1 1 1 1 1
## 35 3 1 1 3 1 1
## 36 2 3 2 2 3 1
## 37 3 1 3 4 2 1
## 38 3 1 1 3 1 1
## 39 5 1 1 1 1 1
## 40 2 3 2 3 3 2
## 41 2 4 2 5 3 4
## 42 1 1 1 1 1 1
## 43 1 3 1 1 3 3
## 44 1 1 2 3 1 1
## 45 1 1 1 1 1 1
## 46 1 1 1 1 1 1
## 47 3 1 5 1 1 1
## 48 1 2 2 3 1 1
## 49 2 1 2 3 1 1
## 50 3 1 3 3 1 1
## 51 2 3 2 2 4 4
## 52 2 1 2 1 1 2
## 53 3 1 2 2 1 1
## 54 2 1 2 1 3 4
## 55 1 1 1 1 1 1
## 56 1 1 1 1 2 2
## 57 1 1 1 1 1 1
## 58 3 1 3 3 2 1
## 59 1 1 3 2 1 1
## 60 5 1 2 5 1 1
## 61 3 1 4 4 2 3
## 62 5 1 3 5 1 1
## 63 1 2 1 5 1 1
## 64 4 1 3 1 1 1
## 65 3 1 1 4 1 1
## 66 2 1 1 1 1 1
## La.qualité.du.tissu La.matière.du.tissu
## 1 4 5
## 2 3 3
## 3 5 5
## 4 5 5
## 5 4 2
## 6 5 5
## 7 4 3
## 8 3 3
## 9 2 2
## 10 5 5
## 11 5 5
## 12 5 2
## 13 4 4
## 14 5 5
## 15 5 5
## 16 4 4
## 17 4 5
## 18 4 3
## 19 5 4
## 20 4 4
## 21 3 3
## 22 5 5
## 23 2 2
## 24 4 4
## 25 5 5
## 26 3 3
## 27 5 5
## 28 5 5
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## Casquette...Châpeau Sous.vêtements Chaussettes Marque
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## 4 1 3 4 Zara
## 5 1 4 2 Zara
## 6 5 5 4 Zara
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## 10 2 4 4 Nike
## 11 3 4 4 Autre
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## 16 1 4 4 Zara
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## 23 1 3 3 Bershka
## 24 3 4 4 H&M
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## 29 2 3 3 H&M
## 30 4 4 4 Zara
## 31 1 5 5 Pull&Bear
## 32 5 5 5 Autre
## 33 4 5 5 Stradivarius
## 34 2 3 3 Zen
## 35 1 2 2 Stradivarius
## 36 1 3 3 Pull&Bear
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## 38 4 5 5 Zara
## 39 1 3 2 Mabrouk
## 40 3 3 3 Bershka
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## 42 2 2 2 Zen
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## $ Fashionista : int 2 1 4 2 2 3 1 1 1 1 ...
## $ Punk : int 1 1 3 2 2 3 1 1 1 1 ...
## $ Hip.Hop : int 1 1 1 5 2 3 3 1 1 1 ...
## $ La.qualité.du.tissu : int 4 3 5 5 4 5 4 3 2 5 ...
## $ La.matière.du.tissu : int 5 3 5 5 2 5 3 3 2 5 ...
## $ La.qualité.des.coutures.et.des.finitions : int 5 3 4 5 4 4 3 2 3 5 ...
## $ La.couleur : int 5 5 4 5 5 5 5 5 3 4 ...
## $ Le.dessin : int 1 3 5 3 5 3 3 3 3 4 ...
## $ Le.logo : int 2 1 3 4 4 5 1 1 2 4 ...
## $ Les.motifs : int 3 2 3 3 4 5 2 2 2 4 ...
## $ La.taille : int 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 ...
## $ La.forme : int 5 2 5 3 5 4 3 2 4 5 ...
## $ La.coupe : int 5 5 5 4 4 4 3 2 4 5 ...
## $ Le.confort : int 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 ...
## $ Le.prix : int 4 3 5 5 4 4 4 3 3 5 ...
## $ L.offre : int 5 2 5 4 2 4 4 2 4 4 ...
## $ Le.nom.de.la.marque : int 2 4 5 5 4 5 1 4 2 5 ...
## $ L.originalité : int 3 2 5 5 4 5 1 2 2 5 ...
## $ La.nouveauté : int 2 1 5 3 4 5 3 1 2 5 ...
## $ Le.lieu.de.fabrication : int 2 1 1 1 1 2 1 1 2 4 ...
## $ Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse: int 1 1 3 1 1 1 4 1 2 4 ...
## $ L.expérience.d.achat : int 5 1 3 2 4 3 2 1 2 4 ...
## $ La.garantie.d.une.production.éthique : int 4 2 5 2 2 3 4 1 2 4 ...
## $ L.aspect.écologique : int 4 1 5 5 2 1 5 1 2 4 ...
## $ Tee.shirt.polo : int 4 3 4 5 4 5 4 4 2 4 ...
## $ Pull.Sweat : int 5 5 5 5 4 5 3 5 2 4 ...
## $ Chemise : int 4 2 3 5 2 5 2 2 2 3 ...
## $ Jean : int 5 5 5 3 4 5 2 5 3 4 ...
## $ Pantalon : int 4 3 5 2 4 3 3 2 3 3 ...
## $ Short : int 3 5 2 3 3 4 3 5 1 4 ...
## $ Jogging.Legging : int 3 4 5 4 4 4 3 4 1 4 ...
## $ Manteau...Veste : int 4 2 5 4 4 5 4 2 3 4 ...
## $ Casquette...Châpeau : int 1 3 2 1 1 5 1 2 1 2 ...
## $ Sous.vêtements : int 5 4 5 3 4 5 3 4 2 4 ...
## $ Chaussettes : int 4 5 5 4 2 4 3 5 2 4 ...
## $ Marque : chr "Pull&Bear" "Autre" "Zara" "Zara" ...On remarque ici que nos données qualitatives comportent le type “chr”. On doit faire des changements de type afin de pouvoir les exploiter.
data$Horodateur<- as.factor(data$Horodateur)
data$Budget.d.achat<- as.factor(data$Budget.d.achat)
data$Genre <- as.factor(data$Genre)
data$Âge <- as.factor(data$Âge)
data$Marque <-as.factor(data$Marque)
data$Catégorie.socio.professionnelle <-as.factor(data$Catégorie.socio.professionnelle)str(data)## 'data.frame': 66 obs. of 56 variables:
## $ Horodateur : Factor w/ 66 levels "01/12/2022 20:25:36",..: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ Genre : Factor w/ 2 levels "Femme","Homme": 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 ...
## $ Âge : Factor w/ 6 levels "-18","+54","18-24",..: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ...
## $ Catégorie.socio.professionnelle : Factor w/ 7 levels "Demandeur d'emploi",..: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ...
## $ Sensible.à.la.mode : int 3 3 4 2 3 4 2 3 4 3 ...
## $ Toutes.les.semaines : int 1 1 1 3 2 1 1 1 2 2 ...
## $ Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines : int 3 2 1 4 2 2 1 2 2 2 ...
## $ Au.moins.une.fois.par.mois : int 3 4 4 4 4 4 5 5 4 3 ...
## $ Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois : int 4 2 4 1 5 3 5 4 1 3 ...
## $ Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois : int 5 2 1 1 5 1 5 1 1 3 ...
## $ Plus.rarement : int 1 1 3 1 2 1 1 1 1 3 ...
## $ Budget.d.achat : Factor w/ 5 levels "Entre 100 et 200 TND",..: 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ...
## $ Classique : int 4 3 4 2 1 2 1 1 2 3 ...
## $ Casual : int 5 5 3 3 4 2 4 5 2 3 ...
## $ Chic : int 4 1 5 4 3 2 2 1 2 3 ...
## $ Sport : int 4 5 5 5 4 4 5 5 2 3 ...
## $ Tendance : int 3 1 5 3 2 5 1 2 2 3 ...
## $ Glamour : int 2 1 4 2 2 4 1 1 1 1 ...
## $ Rock.n.roll : int 1 1 1 3 2 3 1 1 1 1 ...
## $ Romantique.Bohème : int 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 ...
## $ Fashionista : int 2 1 4 2 2 3 1 1 1 1 ...
## $ Punk : int 1 1 3 2 2 3 1 1 1 1 ...
## $ Hip.Hop : int 1 1 1 5 2 3 3 1 1 1 ...
## $ La.qualité.du.tissu : int 4 3 5 5 4 5 4 3 2 5 ...
## $ La.matière.du.tissu : int 5 3 5 5 2 5 3 3 2 5 ...
## $ La.qualité.des.coutures.et.des.finitions : int 5 3 4 5 4 4 3 2 3 5 ...
## $ La.couleur : int 5 5 4 5 5 5 5 5 3 4 ...
## $ Le.dessin : int 1 3 5 3 5 3 3 3 3 4 ...
## $ Le.logo : int 2 1 3 4 4 5 1 1 2 4 ...
## $ Les.motifs : int 3 2 3 3 4 5 2 2 2 4 ...
## $ La.taille : int 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 ...
## $ La.forme : int 5 2 5 3 5 4 3 2 4 5 ...
## $ La.coupe : int 5 5 5 4 4 4 3 2 4 5 ...
## $ Le.confort : int 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 ...
## $ Le.prix : int 4 3 5 5 4 4 4 3 3 5 ...
## $ L.offre : int 5 2 5 4 2 4 4 2 4 4 ...
## $ Le.nom.de.la.marque : int 2 4 5 5 4 5 1 4 2 5 ...
## $ L.originalité : int 3 2 5 5 4 5 1 2 2 5 ...
## $ La.nouveauté : int 2 1 5 3 4 5 3 1 2 5 ...
## $ Le.lieu.de.fabrication : int 2 1 1 1 1 2 1 1 2 4 ...
## $ Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse: int 1 1 3 1 1 1 4 1 2 4 ...
## $ L.expérience.d.achat : int 5 1 3 2 4 3 2 1 2 4 ...
## $ La.garantie.d.une.production.éthique : int 4 2 5 2 2 3 4 1 2 4 ...
## $ L.aspect.écologique : int 4 1 5 5 2 1 5 1 2 4 ...
## $ Tee.shirt.polo : int 4 3 4 5 4 5 4 4 2 4 ...
## $ Pull.Sweat : int 5 5 5 5 4 5 3 5 2 4 ...
## $ Chemise : int 4 2 3 5 2 5 2 2 2 3 ...
## $ Jean : int 5 5 5 3 4 5 2 5 3 4 ...
## $ Pantalon : int 4 3 5 2 4 3 3 2 3 3 ...
## $ Short : int 3 5 2 3 3 4 3 5 1 4 ...
## $ Jogging.Legging : int 3 4 5 4 4 4 3 4 1 4 ...
## $ Manteau...Veste : int 4 2 5 4 4 5 4 2 3 4 ...
## $ Casquette...Châpeau : int 1 3 2 1 1 5 1 2 1 2 ...
## $ Sous.vêtements : int 5 4 5 3 4 5 3 4 2 4 ...
## $ Chaussettes : int 4 5 5 4 2 4 3 5 2 4 ...
## $ Marque : Factor w/ 15 levels "Adidas","Autre",..: 12 2 14 14 14 14 4 11 13 11 ...summary(data)## Horodateur Genre Âge
## 01/12/2022 20:25:36: 1 Femme:41 -18 : 2
## 01/12/2022 20:31:26: 1 Homme:25 +54 : 2
## 01/12/2022 20:33:48: 1 18-24:55
## 01/12/2022 20:35:03: 1 25-34: 3
## 01/12/2022 20:35:31: 1 35-44: 2
## 01/12/2022 20:40:47: 1 45-54: 2
## (Other) :60
## Catégorie.socio.professionnelle Sensible.à.la.mode
## Demandeur d'emploi : 1 Min. :1.000
## Employé : 4 1st Qu.:3.000
## Etudiant :53 Median :3.000
## Lycéen : 2 Mean :3.273
## Profession libérale : 2 3rd Qu.:4.000
## Retraité : 1 Max. :5.000
## Sans activité professionnelle: 3
## Toutes.les.semaines Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines
## Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:1.000 1st Qu.:1.000
## Median :1.000 Median :2.000
## Mean :1.591 Mean :2.167
## 3rd Qu.:2.000 3rd Qu.:3.000
## Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Au.moins.une.fois.par.mois Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois
## Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:3.000 1st Qu.:2.000
## Median :4.000 Median :3.500
## Mean :3.515 Mean :3.167
## 3rd Qu.:4.750 3rd Qu.:4.000
## Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois Plus.rarement Budget.d.achat
## Min. :1.000 Min. :1.000 Entre 100 et 200 TND:20
## 1st Qu.:1.000 1st Qu.:1.000 Entre 200 et 500 TND:13
## Median :3.000 Median :1.000 Entre 50 et 100 TND :21
## Mean :2.894 Mean :1.818 Moins de 50 TND :11
## 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:3.000 Plus de 500 TND : 1
## Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Classique Casual Chic Sport
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:2.000 1st Qu.:3.000 1st Qu.:2.000 1st Qu.:3.000
## Median :3.000 Median :4.000 Median :3.000 Median :4.000
## Mean :2.924 Mean :3.864 Mean :3.273 Mean :3.576
## 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:5.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Tendance Glamour Rock.n.roll Romantique.Bohème
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.00 Min. :1.000
## 1st Qu.:2.000 1st Qu.:1.000 1st Qu.:1.00 1st Qu.:1.000
## Median :3.000 Median :2.000 Median :1.00 Median :2.000
## Mean :2.788 Mean :2.258 Mean :1.53 Mean :2.045
## 3rd Qu.:3.000 3rd Qu.:3.000 3rd Qu.:2.00 3rd Qu.:3.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.00 Max. :5.000
##
## Fashionista Punk Hip.Hop La.qualité.du.tissu
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:1.000 1st Qu.:1.000 1st Qu.:1.000 1st Qu.:4.000
## Median :2.000 Median :1.000 Median :1.000 Median :4.000
## Mean :2.258 Mean :1.545 Mean :1.591 Mean :4.152
## 3rd Qu.:3.000 3rd Qu.:2.000 3rd Qu.:2.000 3rd Qu.:5.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000
##
## La.matière.du.tissu La.qualité.des.coutures.et.des.finitions La.couleur
## Min. :1.000 Min. :2.00 Min. :2.000
## 1st Qu.:3.000 1st Qu.:3.00 1st Qu.:4.000
## Median :4.000 Median :4.00 Median :5.000
## Mean :3.848 Mean :3.97 Mean :4.273
## 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:5.00 3rd Qu.:5.000
## Max. :5.000 Max. :5.00 Max. :5.000
##
## Le.dessin Le.logo Les.motifs La.taille La.forme
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :3.00 Min. :2.000
## 1st Qu.:3.000 1st Qu.:2.000 1st Qu.:2.000 1st Qu.:4.00 1st Qu.:4.000
## Median :4.000 Median :3.000 Median :4.000 Median :5.00 Median :4.000
## Mean :3.909 Mean :3.167 Mean :3.485 Mean :4.53 Mean :4.242
## 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:5.00 3rd Qu.:5.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.00 Max. :5.000
##
## La.coupe Le.confort Le.prix L.offre
## Min. :1.000 Min. :2.000 Min. :2.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:4.000 1st Qu.:4.000 1st Qu.:4.000 1st Qu.:3.000
## Median :4.000 Median :5.000 Median :4.000 Median :4.000
## Mean :4.182 Mean :4.455 Mean :4.197 Mean :3.606
## 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:4.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Le.nom.de.la.marque L.originalité La.nouveauté Le.lieu.de.fabrication
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:2.000 1st Qu.:2.000 1st Qu.:2.000 1st Qu.:1.000
## Median :3.000 Median :3.000 Median :3.000 Median :1.500
## Mean :2.788 Mean :3.303 Mean :3.167 Mean :1.894
## 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:2.750
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse L.expérience.d.achat
## Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:1.000 1st Qu.:2.000
## Median :2.000 Median :3.000
## Mean :1.955 Mean :3.045
## 3rd Qu.:2.750 3rd Qu.:4.000
## Max. :4.000 Max. :5.000
##
## La.garantie.d.une.production.éthique L.aspect.écologique Tee.shirt.polo
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:2.000 1st Qu.:1.250 1st Qu.:3.000
## Median :3.000 Median :3.000 Median :4.000
## Mean :2.773 Mean :2.788 Mean :3.652
## 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:5.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Pull.Sweat Chemise Jean Pantalon Short
## Min. :1.000 Min. :1.00 Min. :1.00 Min. :1.00 Min. :1.000
## 1st Qu.:3.000 1st Qu.:2.00 1st Qu.:3.00 1st Qu.:3.00 1st Qu.:1.250
## Median :4.000 Median :3.00 Median :4.00 Median :3.00 Median :3.000
## Mean :3.864 Mean :3.03 Mean :3.97 Mean :3.47 Mean :2.682
## 3rd Qu.:5.000 3rd Qu.:4.00 3rd Qu.:5.00 3rd Qu.:4.00 3rd Qu.:4.000
## Max. :5.000 Max. :5.00 Max. :5.00 Max. :5.00 Max. :5.000
##
## Jogging.Legging Manteau...Veste Casquette...Châpeau Sous.vêtements
## Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :1.000 Min. :2.000
## 1st Qu.:2.000 1st Qu.:3.000 1st Qu.:1.000 1st Qu.:3.000
## Median :3.000 Median :4.000 Median :1.000 Median :4.000
## Mean :2.864 Mean :3.667 Mean :1.818 Mean :3.636
## 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:2.000 3rd Qu.:4.000
## Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000 Max. :5.000
##
## Chaussettes Marque
## Min. :2.000 Zara :14
## 1st Qu.:3.000 Stradivarius:12
## Median :4.000 Bershka :10
## Mean :3.652 Autre : 5
## 3rd Qu.:4.750 Pull&Bear : 5
## Max. :5.000 H&M : 4
## (Other) :16Fréquence d’achat
Dans cette partie, notre objectif est d’analyser la fréquence d’achat de vêtements et sa relation avec la sensibilité à la mode chez les consommateurs de différents sexes, tranches d’âges, catégorie socio-professionnelle et les marques associées à cette fréquence d’achat.
1. Calcul de la matrice centrée réduite
Centrer et réduire la matrice X
X=as.matrix(data[,5:11])
g=colMeans(X)
g## Sensible.à.la.mode Toutes.les.semaines
## 3.272727 1.590909
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines Au.moins.une.fois.par.mois
## 2.166667 3.515152
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois
## 3.166667 2.893939
## Plus.rarement
## 1.818182Y=sweep(x = X,2,g,FUN = '-')
round(colMeans(X),3)## Sensible.à.la.mode Toutes.les.semaines
## 3.273 1.591
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines Au.moins.une.fois.par.mois
## 2.167 3.515
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois
## 3.167 2.894
## Plus.rarement
## 1.818Calcul des écarts-types pour réduire les variables.
n=nrow(X)
p=ncol(X)
et=apply(Y,2,function(x) sqrt(sum(x^2)/n))
et## Sensible.à.la.mode Toutes.les.semaines
## 1.0231481 0.7972922
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines Au.moins.une.fois.par.mois
## 1.1881145 1.2338953
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois
## 1.3880806 1.6617697
## Plus.rarement
## 1.2174127Calcul de la matrice des données entrées réduites Z. On vérifie que les variables de cette matrice sont bien de variance égale à 1.
Z=sweep(x = Y,2,et,FUN = '/')
colSums(Z^2)/n## Sensible.à.la.mode Toutes.les.semaines
## 1 1
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines Au.moins.une.fois.par.mois
## 1 1
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois
## 1 1
## Plus.rarement
## 12. Calcul de la matrice des corrélations
Calcul de la matrice des corrélations R=Z′DZ, ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
M=diag(rep(1,p))
D=(1/n)*diag(rep(1,n))
R=t(Z)%*%D%*%Z
vp=eigen(R %*%M)
lambda=vp$values
lambda## [1] 2.8948368 1.4507887 0.9039574 0.7548364 0.5077208 0.3113474 0.1765125U=vp$vectors
U## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.3160476 0.1570275 0.4674453 0.7651969 -0.26159747 0.04749963
## [2,] -0.3841883 0.4957645 0.0523564 -0.3579707 -0.20421333 -0.37687934
## [3,] -0.4512274 0.3542282 -0.2227979 -0.2179233 -0.26029843 0.42287029
## [4,] -0.3871191 0.1308224 -0.4880289 0.3414535 0.68087390 -0.02415091
## [5,] 0.3847557 0.3529689 -0.4460115 0.3023029 -0.28986570 -0.52333631
## [6,] 0.4353936 0.4173050 -0.1760330 0.1220929 -0.07363155 0.62882143
## [7,] 0.2478734 0.5368774 0.5109097 -0.1263166 0.51872479 -0.08370133
## [,7]
## [1,] -0.02711844
## [2,] -0.54036249
## [3,] 0.57202463
## [4,] -0.11869729
## [5,] 0.28135328
## [6,] -0.43538095
## [7,] 0.31185815Vérifions que les vecteurs propres (i.e. les colonnes de U) sont bien orthornormés.
round(t(U)%*%U,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 1 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 1 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 1 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 1 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 1 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 1 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 13. Les Composantes Principales
Calculons la matrice Psi des composantes principales qui est donnée par Psi=Zu. On verifiera que la variance de chaque composante est égale à la valeur propore correspondante.
Psi=Z%*%U
Psi## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 0.8303202 0.16450751 -0.95014598 0.187049166 -0.861709492 1.11235284
## [2,] -0.4440216 -1.28954556 -0.19771883 -0.008787708 0.459761319 0.35569190
## [3,] 0.3264440 -0.29476611 0.74931049 1.077098188 0.902002818 -1.22375496
## [4,] -2.3976176 -0.10852029 -0.47105103 -2.312733838 0.018136466 0.07431978
## [5,] 0.8952930 1.28948278 -0.99412166 0.312240316 -0.129686281 -0.18161130
## [6,] -0.7377394 -1.13290595 0.04376659 0.883410390 0.039566604 -0.35330937
## [7,] 1.5484969 -0.11892016 -2.14432415 0.577244218 0.726932209 -0.06207373
## [8,] -0.4653942 -0.92607129 -1.12993717 0.630038453 0.638229227 -0.79632883
## [9,] -1.7739766 -1.01966699 0.75206492 -0.001142244 0.201082686 -0.07196535
## [10,] 0.3342543 0.61364457 0.67555839 -0.650758846 0.250861042 -0.23355810
## [11,] -1.9943541 0.08202572 -0.05022591 -0.076724725 -0.490221880 0.64125198
## [12,] 2.5414406 -0.79413661 -0.45631760 -0.603139747 -1.435992557 -0.36218681
## [13,] 1.6663582 0.43326175 1.96353874 0.422513696 0.300371238 0.25887302
## [14,] 2.1689976 1.29897776 0.81945824 1.208283032 0.390220909 -0.13633832
## [15,] 1.5898892 -0.43177871 -0.57510151 0.553888061 -0.423538885 0.40051863
## [16,] -2.1129684 0.81661805 0.12313423 0.767694668 -1.156289732 -1.27338707
## [17,] 1.9971027 0.45021862 0.26423543 0.346371584 0.428636867 0.26301171
## [18,] 1.5314899 -0.24190092 -0.04950197 0.376658235 0.046858109 -0.04663952
## [19,] 2.3055252 -0.23716224 1.98201784 -1.712082183 0.633261316 1.31804378
## [20,] -0.6399806 -1.73278565 -0.29978438 0.377888246 1.274964212 -0.39820280
## [21,] 2.3108401 0.34419472 0.65975429 0.069643490 -0.123171604 0.28258462
## [22,] -0.9440375 -1.53185982 1.00947373 1.596929870 0.211797755 -0.28577993
## [23,] 1.1693400 -1.64830998 0.63966053 -0.293454477 -1.349919354 -1.07395432
## [24,] -1.8814159 -0.51468922 -0.60916109 -0.437933629 0.580660006 -0.15906770
## [25,] 1.1541606 -1.65147473 0.85504473 -0.437767717 -1.185403631 -0.31852807
## [26,] 1.4225017 1.04626535 0.92794503 -1.705658450 0.336510322 0.04924105
## [27,] 2.9017629 0.49245645 0.73395788 0.010700223 -0.883804916 -0.07486405
## [28,] -0.4080692 0.20114540 -1.49151576 0.472311887 0.128961669 -1.26764482
## [29,] 1.5190019 -0.28711046 -1.21949337 -0.377416246 -0.386945196 0.71001075
## [30,] -2.1586013 -0.76897485 -0.28784581 -0.655718456 0.789484847 0.21795387
## [31,] 1.3084210 0.90183658 0.53358281 0.910836996 -0.046127429 0.66535380
## [32,] -2.0103711 5.78531233 0.41754072 -0.123743870 -0.236628875 -0.66494062
## [33,] 2.3108401 0.34419472 0.65975429 0.069643490 -0.123171604 0.28258462
## [34,] -1.2260632 -1.83359641 0.47840052 0.907988278 1.228110060 0.02524375
## [35,] -1.0705380 0.33674007 0.56243846 0.869107902 -1.331757999 0.35271588
## [36,] -1.0527894 1.42197857 -0.49052382 -0.464141552 0.916307377 0.43913030
## [37,] -2.3879371 -0.01361836 1.23372595 -1.370420309 -1.596838462 0.20631555
## [38,] -3.1561802 -0.16388202 0.43837120 0.656631814 0.059041558 0.66672094
## [39,] -0.4341048 0.47102850 -0.97038639 0.954771085 -0.740356199 1.11671733
## [40,] -0.3349652 -0.51947363 -0.05784747 -0.516713956 -0.557005592 -0.47445588
## [41,] 0.7052485 -0.42340083 -0.40781968 1.505029427 -0.083100289 0.04896602
## [42,] 1.3011957 -0.90078227 -0.07912523 -0.662483038 0.555671061 -0.09444762
## [43,] -1.0311785 -0.07326183 0.74448703 0.186355932 0.374036603 -0.13933569
## [44,] -3.3291494 0.30445333 0.04716935 -0.540236025 0.058586952 0.14759685
## [45,] 1.7871343 -1.95525970 -0.27407872 -1.789224196 -0.838561368 -1.16680429
## [46,] 2.3894430 -0.46816149 0.17326140 -1.717382643 0.641320341 0.18835153
## [47,] 2.5783450 0.50357841 -1.36633796 -0.654885213 1.282978483 -0.22643272
## [48,] -0.3298886 1.19364947 -1.68290352 -0.024311928 -0.949635646 0.22057167
## [49,] -3.0202522 0.15097847 -0.40970028 -1.288120885 0.314265945 0.10117186
## [50,] 1.5012730 2.56502781 -0.58750474 -0.470191164 1.956064811 -0.45386956
## [51,] -0.5466206 -0.73711683 -0.70655634 0.025577671 0.031851175 0.33458744
## [52,] -0.2502111 1.78788350 0.23238864 -1.065376446 -0.433182701 -0.72736167
## [53,] -0.4757334 -0.88178508 -0.06216448 0.956881978 -0.004742515 0.02509531
## [54,] 1.5190019 -0.28711046 -1.21949337 -0.377416246 -0.386945196 0.71001075
## [55,] 1.8987864 -0.58525357 -1.03197113 -0.193996798 -0.167859892 0.35409364
## [56,] 0.4765715 0.19276752 -1.65879760 -0.478829479 -0.211476928 -0.91609221
## [57,] 1.6298062 0.79357127 1.24670460 0.917026618 0.643354868 -0.13772145
## [58,] -1.0601988 0.29245386 -0.50533423 0.542264377 -0.688786258 -0.46870826
## [59,] -0.2896911 -2.19911906 0.81256863 -0.393352770 0.380172111 0.01796457
## [60,] -0.4869105 2.14526775 -1.30781537 0.970014375 -0.271727410 0.55707499
## [61,] -1.7793340 -0.83835632 -0.86235109 -0.172370097 0.617708302 0.66954852
## [62,] -3.0154120 0.19842943 0.44268821 -0.816964120 -0.493221519 0.16716975
## [63,] 0.9720948 -0.12482899 0.33863773 2.049657780 -0.934896871 0.49336860
## [64,] -0.1017806 1.19116123 3.25139980 0.069509887 0.293004296 -0.26002526
## [65,] -2.3966112 -0.76016824 0.81341567 1.023470710 0.497212165 -0.04511327
## [66,] -2.8472830 -0.31735688 -0.01849842 -0.091253045 0.314720551 0.62029596
## [,7]
## [1,] 0.26602133
## [2,] 0.06897880
## [3,] 0.74073053
## [4,] -0.23779281
## [5,] -0.53052171
## [6,] 0.50716460
## [7,] -0.66008744
## [8,] 0.64016462
## [9,] -0.57596713
## [10,] -0.05954771
## [11,] 0.32763841
## [12,] -0.01330022
## [13,] 0.20060220
## [14,] 0.24779127
## [15,] -0.69689025
## [16,] -0.19068633
## [17,] -0.18456085
## [18,] -0.17872718
## [19,] -0.31757381
## [20,] -0.24667583
## [21,] -0.08836364
## [22,] -0.20348843
## [23,] 0.54349767
## [24,] 0.03848868
## [25,] 0.07880697
## [26,] 0.05732073
## [27,] 0.21052590
## [28,] -0.09688850
## [29,] -0.18892955
## [30,] -0.16420364
## [31,] 0.27039003
## [32,] -0.50010849
## [33,] -0.08836364
## [34,] -0.47587306
## [35,] -0.14343113
## [36,] 0.71096945
## [37,] -0.09840820
## [38,] 0.26424234
## [39,] 0.88677338
## [40,] -0.30987873
## [41,] -0.55759399
## [42,] -0.09291622
## [43,] -0.37910848
## [44,] -0.38699983
## [45,] 0.59650749
## [46,] 0.02395222
## [47,] -0.02505592
## [48,] 0.43822355
## [49,] -0.36049492
## [50,] 0.16828007
## [51,] 0.75312692
## [52,] -0.05314666
## [53,] 0.24516622
## [54,] -0.18892955
## [55,] -0.67038534
## [56,] -0.23618476
## [57,] 0.30709731
## [58,] 0.25156727
## [59,] -0.25697373
## [60,] 0.30968775
## [61,] 1.19769155
## [62,] -0.29080262
## [63,] -0.74990006
## [64,] 0.55527513
## [65,] -0.69866925
## [66,] 0.29074724round(t(Psi)%*%D%*%Psi,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 2.895 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [2,] 0.000 1.451 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [3,] 0.000 0.000 0.904 0.000 0.000 0.000 0.000
## [4,] 0.000 0.000 0.000 0.755 0.000 0.000 0.000
## [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.508 0.000 0.000
## [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.311 0.000
## [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.1774. Les coordonnées des variables sur les axes
Calculons la matrice \(Eta\) des coordonnées des variables sur les axes principaux par \(Eta_\alpha = \sqrt{(\lambda_\alpha)} u_\alpha\).
Eta<-sweep(U,2,sqrt(lambda),FUN='*')
Eta ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.5377303 0.1891376 0.44443142 0.6648132 -0.18640004 0.02650409
## [2,] -0.6536665 0.5971418 0.04977873 -0.3110096 -0.14551125 -0.21029306
## [3,] -0.7677283 0.4266632 -0.21182883 -0.1893346 -0.18547442 0.23595533
## [4,] -0.6586530 0.1575739 -0.46400164 0.2966593 0.48515349 -0.01347585
## [5,] 0.6546318 0.4251465 -0.42405290 0.2626447 -0.20654244 -0.29201388
## [6,] 0.7407883 0.5026385 -0.16736637 0.1060759 -0.05246581 0.35087301
## [7,] 0.4217373 0.6466618 0.48575598 -0.1097455 0.36961490 -0.04670410
## [,7]
## [1,] -0.01139338
## [2,] -0.22702460
## [3,] 0.24032694
## [4,] -0.04986876
## [5,] 0.11820605
## [6,] -0.18291830
## [7,] 0.13102218ACP normée avec le package FactoMineR et interprétation de l’ACP.
Utilisons maintenant la fonction PCA pour retrouver les résultats obtenus précédemment.
On va ajouter quatre variables qualitatives comme variables supplémentaires : on ajoute les variables “Genre”,“Age”, “Catégorie socio-professionnelle” et “Marque” comme variables qualitatives illustratives. Les variables illustratives n’influencent pas la construction des composantes principales de l’analyse.
Notons que nous utilisons le package factoextra plutôt que FactoMineR pour la qualité de ces graphiques.
1. Pertinence de l’ACP
library(corrplot)## corrplot 0.92 loadedX=as.matrix(data[,c(5:11)])
M<-cor(X)
library(RColorBrewer)
corrplot(M, type="upper", order="hclust",
col=brewer.pal(n=8, name="RdBu"))
Execution de la fonction PCA.
library(factoextra)## Le chargement a nécessité le package : ggplot2## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBalibrary(FactoMineR)res.pca=PCA(data[,c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,56)],ncp = 5, quali.sup=c(1,2,3,11),graph = F)2. Choix du nombre d’axes à retenir
Trois critères devront être utlisés : taux d’inertie cumulé, critère de Kaiser et critère du coude.
L’objet eig est une matrice à trois colonnes contenants respectivement les valeurs propres de l’ACP, la proportion de variance de chaque composante et les variance cumulées par les composantes principales.
head(res.pca$eig)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1 2.8948368 41.354812 41.35481
## comp 2 1.4507887 20.725553 62.08036
## comp 3 0.9039574 12.913677 74.99404
## comp 4 0.7548364 10.783377 85.77742
## comp 5 0.5077208 7.253154 93.03057
## comp 6 0.3113474 4.447820 97.47839fviz_screeplot(res.pca, ncp=10)
Critère de Kaiser: on remarque qu’il y a 2 axes dont les valeurs propres sont supérieures à 1 donc on retient 2 axes d’après ce critère.
Critère du taux d’inertie cumulée : On remarque que le taux d’inertie cumulé des 2 premiers axes est de 62.08% qui est un taux important compte tenu du fait que nous avons 6 variables : on va donc, d’après ce critère, retenir les 2 premiers axes.
Critère du coude : On remarque que le coude se trouve au niveau du deuxième axe (voir la figure Scree plot), d’après ce critère, on devrait retenir les 2 premiers axes.
En faisant une sorte de vote des 3 critères on devrait retenir les 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des variables
L’objet var de res.pca contient les 4 objets : coord, cor, cos2 et contrib. A noter que vu que notre ACP est normée, cor (i.e. la corrélations d’une variable avec la composante principale d’un axe) est identique à coord (i.e. la coordonnée de cette variable sur cet axe).
names(res.pca$var)## [1] "coord" "cor" "cos2" "contrib"L’objet coord dans var contient les coordonnées des variables.
res.pca$var$coord## Dim.1 Dim.2 Dim.3
## Sensible.à.la.mode 0.5377303 0.1891376 -0.44443142
## Toutes.les.semaines 0.6536665 0.5971418 -0.04977873
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines 0.7677283 0.4266632 0.21182883
## Au.moins.une.fois.par.mois 0.6586530 0.1575739 0.46400164
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois -0.6546318 0.4251465 0.42405290
## Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois -0.7407883 0.5026385 0.16736637
## Plus.rarement -0.4217373 0.6466618 -0.48575598
## Dim.4 Dim.5
## Sensible.à.la.mode 0.6648132 -0.18640004
## Toutes.les.semaines -0.3110096 -0.14551125
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines -0.1893346 -0.18547442
## Au.moins.une.fois.par.mois 0.2966593 0.48515349
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois 0.2626447 -0.20654244
## Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois 0.1060759 -0.05246581
## Plus.rarement -0.1097455 0.36961490L’objet cos2 dans var est une matrice dont les lignes représentent le cos carrés de la variable (soit le carrée des coordonnées puisque l’ACP est normée).
res.pca$var$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3
## Sensible.à.la.mode 0.2891538 0.03577302 0.197519288
## Toutes.les.semaines 0.4272799 0.35657832 0.002477922
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines 0.5894067 0.18204147 0.044871454
## Au.moins.une.fois.par.mois 0.4338238 0.02482952 0.215297521
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois 0.4285428 0.18074951 0.179820865
## Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois 0.5487673 0.25264542 0.028011502
## Plus.rarement 0.1778624 0.41817144 0.235958870
## Dim.4 Dim.5
## Sensible.à.la.mode 0.44197659 0.034744975
## Toutes.les.semaines 0.09672699 0.021173523
## Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines 0.03584761 0.034400761
## Au.moins.une.fois.par.mois 0.08800675 0.235373906
## Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois 0.06898226 0.042659780
## Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois 0.01125209 0.002752662
## Plus.rarement 0.01204408 0.136615176Interprétation de cette première carte des variables (i.e. axes 1 et 2) :
Les deux premières dimensions contiennent 68.63% de l’inertie totale (l’inertie est la variance totale du tableau de données, i.e. la trace de la matrice des corrélations).
On remarque que les variables “Au.moins.une.fois.par.mois”,“Au.moins.une.fois.tous.les.3.mois”, “Au.moins.une.fois.tous.les.6.mois” et “Plus.rarement” sont négativement corrélées aux variables “Toutes.les.semaines” “Au.moins.une.fois.toutes.les.2.semaines”, “Au.moins.une.fois.par.mois” et “Sensible à la mode”.
Le premier axe oppose les consommateurs qui sont sensibles à la mode et qui font des achats fréquemment à ceux qui réalisent des achats plus rarement. Si on devait donner un nom à cet axe ça serait l’axe “l’attachement à l’industrie de la mode”.
fviz_pca_var(res.pca)
fviz_pca_var(res.pca, col.var="cos2") +
scale_color_gradient2(low="white", mid="blue",
high="red", midpoint=0.6) +
theme_minimal()
Notons que la qualité de représentation d’une variable sur le premier plan est donnée par la somme de ses cos2 sur chacun des 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des individus
De la même manière, l’objet ind de res.pca contient les objets : coord, cos2 et contrib.
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "point",col.ind.sup = 'gray')
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind.sup = 'gray')
On distingue ici deux groupes d’individus: ceux qui sont sensibles à la mode et qui réalisent des achats régulièrement et ceux qui ne s’intéressent pas beaucoup à la mode.
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind="cos2")+
scale_color_gradient2(low="blue", mid="white",
high="red", midpoint=0.5)
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Genre)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Genre)
On peut conclure ici que les femmes sont plus sensibles à la mode et ont tendance à acheter plus fréquemment les vêtements en opposition aux hommes qui donnent moins d’importance à leur style vestimentaire et achètent plus rarement des vêtements.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Âge)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Âge)
On remarque ici que la tranche d’âge n’a pas vraiment d’influence sur la fréquence d’achat de vêtements.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
On remarque ici que les étudiants ont tendance à acheter plus rarement les vêtements. Cela peut être dû au fait qu’ils ne sont pas encore indépendants financièrement.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Marque)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Marque)
On peut conclure ici que la présence de certaines marques n’a aucune influence sur la fréquence d’achat des consommateurs. Ce n’est pas parce qu’une certaine marque existe que les consommateurs achètent plus.
Style Vestimentaire
Dans cette partie, notre objectif est d’analyser les styles vestimentaires chez les consommateurs de différents sexes, tranches d’âges ,catégorie socio-professionnelle et les marques associées à ces différents styles.
1. Calcul de la matrice centrée réduite
Centrer et réduire la matrice X
X=as.matrix(data[,13:23])
g=colMeans(X)
g## Classique Casual Chic Sport
## 2.924242 3.863636 3.272727 3.575758
## Tendance Glamour Rock.n.roll Romantique.Bohème
## 2.787879 2.257576 1.530303 2.045455
## Fashionista Punk Hip.Hop
## 2.257576 1.545455 1.590909Y=sweep(x = X,2,g,FUN = '-')
round(colMeans(X),3)## Classique Casual Chic Sport
## 2.924 3.864 3.273 3.576
## Tendance Glamour Rock.n.roll Romantique.Bohème
## 2.788 2.258 1.530 2.045
## Fashionista Punk Hip.Hop
## 2.258 1.545 1.591Calcul des écarts-types pour réduire les variables.
n=nrow(X)
p=ncol(X)
et=apply(Y,2,function(x) sqrt(sum(x^2)/n))
et## Classique Casual Chic Sport
## 1.3406309 1.0855297 1.1084449 1.2560231
## Tendance Glamour Rock.n.roll Romantique.Bohème
## 1.2124999 1.2347323 0.9569474 1.2114582
## Fashionista Punk Hip.Hop
## 1.2590353 0.8907235 1.0441362Calcul de la matrice des données entrées réduites Z. On vérifie que les variables de cette matrice sont bien de variance égale à 1.
Z=sweep(x = Y,2,et,FUN = '/')
colSums(Z^2)/n## Classique Casual Chic Sport
## 1 1 1 1
## Tendance Glamour Rock.n.roll Romantique.Bohème
## 1 1 1 1
## Fashionista Punk Hip.Hop
## 1 1 12. Calcul de la matrice des corrélations
Calcul de la matrice des corrélations R=Z′DZ, ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
M=diag(rep(1,p))
D=(1/n)*diag(rep(1,n))
R=t(Z)%*%D%*%Z
vp=eigen(R %*%M)
lambda=vp$values
lambda## [1] 2.8910520 2.1921211 1.5843652 1.0364357 0.9003979 0.6679047 0.5110981
## [8] 0.4007379 0.3127727 0.2844454 0.2186694U=vp$vectors
U## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.02952718 -0.11664582 0.49674145 0.44858022 -0.56069406 -0.09811802
## [2,] -0.04688885 -0.27833279 -0.36729690 0.50206743 0.20934655 -0.66378229
## [3,] -0.24249061 -0.44660405 0.11044393 0.14219453 -0.17455274 0.16722932
## [4,] -0.04785670 -0.03596642 -0.59577432 0.37629183 -0.08543258 0.58250758
## [5,] -0.32441185 -0.24733380 -0.36040953 -0.24889150 -0.44128979 -0.04002494
## [6,] -0.38292367 -0.32790240 0.18532916 -0.14149274 0.03514801 0.06394228
## [7,] -0.35930609 0.40990732 -0.06473604 0.11744420 -0.05337045 -0.24655234
## [8,] -0.32508562 -0.11359564 0.27952344 0.31990518 0.59912194 0.27903854
## [9,] -0.40625061 -0.18567077 -0.05810125 -0.41287391 0.17542744 -0.16956490
## [10,] -0.41119418 0.35828297 0.03029343 0.08388401 -0.11344146 0.08660044
## [11,] -0.33920835 0.44239524 -0.01834469 0.09637543 -0.05116143 -0.04349880
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.13223288 -0.347921401 0.01891656 -0.269445281 0.04524610
## [2,] 0.04810458 0.022531565 0.18251303 0.085290266 -0.07425306
## [3,] -0.70234129 0.296164125 -0.10393908 0.206706697 -0.12792269
## [4,] 0.08106040 -0.232305620 -0.08047899 -0.189058161 -0.22472921
## [5,] 0.21361768 0.155313471 0.03024469 0.005885551 0.61212588
## [6,] 0.57587614 0.277537054 -0.05511988 0.026110201 -0.52323827
## [7,] -0.02815867 0.007828808 -0.78531230 0.055908248 -0.02365228
## [8,] 0.09969093 -0.015300492 -0.03750315 -0.065917869 0.49820584
## [9,] -0.25683535 -0.609145029 0.05690512 -0.330619820 -0.13247423
## [10,] 0.01769329 -0.263325047 0.41113057 0.656915955 -0.06332292
## [11,] -0.16146781 0.441499383 0.39333140 -0.540942554 -0.08226642Vérifions que les vecteurs propres (i.e. les colonnes de U) sont bien orthornormés.
round(t(U)%*%U,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13. Les composantes principales
Calculons la matrice Psi des composantes principales qui est donnée par Psi=Zu. On verifiera que la variance de chaque composante est égale à la valeur propore correspondante.
Psi=Z%*%U
Psi## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 0.78161882 -1.2259149 -0.41800912 0.729304961 -0.88359995 -0.58536322
## [2,] 2.58974878 0.8621990 -1.07124622 1.162507672 0.49913908 -0.35209653
## [3,] -2.11284426 -1.5742245 -0.43456151 -0.875078322 -2.14181404 1.21488633
## [4,] -1.90644892 2.2922197 -0.89751563 0.407572459 -0.44121023 0.89337692
## [5,] -0.05311351 1.0589237 -0.81410461 -0.086756347 0.96208527 0.15607780
## [6,] -2.94589738 1.7575839 -0.32466438 -1.405113432 -0.31754196 1.05310267
## [7,] 1.80848675 1.7370976 -1.40944506 0.343676914 0.88727714 0.47331000
## [8,] 2.36624228 0.8322287 -2.10954748 0.288028659 0.97165172 -0.23873090
## [9,] 2.36933958 1.1974238 0.79869286 -1.535381795 0.02144389 0.28208265
## [10,] 1.77969586 0.2184806 0.15892344 -0.515667358 -0.79337965 0.17904183
## [11,] -1.27256894 -1.7909558 0.05303400 -0.494208920 0.95454474 0.44064267
## [12,] -2.06649429 -1.4848410 0.99118959 0.384220350 1.62259375 0.42099313
## [13,] -0.79854174 1.0474820 0.22282664 0.120360548 0.22073040 -1.91906016
## [14,] -6.51150569 2.9849336 0.03278834 0.678747232 0.65990910 -0.27202240
## [15,] -1.55193367 -1.5119289 0.68559277 1.466151764 -0.55713119 0.06454040
## [16,] 0.37083462 -0.7874048 1.45222639 -0.808340087 -0.87112535 1.06743175
## [17,] 1.24117665 -0.3330858 -0.98781450 0.138135332 -0.15041776 -0.81391209
## [18,] 1.71905762 0.7581557 -0.19994085 -1.171749125 1.19838999 0.30321393
## [19,] 1.74718933 -0.2654811 -0.25688414 0.579985957 -0.46207097 0.21520947
## [20,] 1.92218076 0.5085125 -0.39850309 -0.638702344 0.47846434 -0.61178921
## [21,] 0.63814404 0.5269943 -2.33888038 0.226423863 0.32731512 -0.40398746
## [22,] -1.43761257 -1.1287965 1.08225580 -0.596420727 0.51857121 -0.51759231
## [23,] 0.86007960 -0.7216031 0.15060187 2.603621261 2.00489756 1.02183987
## [24,] -0.60146591 -1.9737969 -0.44036729 1.042917464 1.74275905 0.81676901
## [25,] -1.59554672 -1.5348454 2.53763652 1.811837159 0.89943932 -0.32174663
## [26,] -0.62618148 1.2537566 -0.07322901 0.036349162 0.13775489 0.58759607
## [27,] -0.25188882 1.8057487 -1.36037023 1.896971206 -1.85196265 -1.30288875
## [28,] 0.23279932 0.6889800 -0.19145565 0.327230439 -0.08624923 1.12661577
## [29,] 2.53781216 1.3395184 1.59721181 -0.189628351 -1.19818888 1.63455423
## [30,] 0.21647704 -1.8135621 -0.36891340 0.622774667 -1.32995292 -0.38012235
## [31,] 0.13216623 -0.9530923 -0.86254494 -1.301146201 0.22462213 -0.19594385
## [32,] -2.34654216 1.7134366 0.72587229 -0.254170848 0.06705612 0.06976353
## [33,] 0.38335391 0.1460560 -1.41982932 0.171192730 1.10096698 1.06469004
## [34,] 0.95046870 -0.7320599 -2.36400925 -0.405445875 -0.78547737 0.72632594
## [35,] 0.59030930 -0.5503216 1.31548958 -1.999892424 -0.32174120 -0.91428508
## [36,] -0.82817156 0.8888889 0.01052098 0.835335715 -0.16598460 0.04181064
## [37,] -1.50459265 -1.5184089 -1.40372196 0.007321565 0.06505704 0.07502707
## [38,] 0.25249750 -0.6661974 -1.14581331 -1.975601774 -0.05328352 0.59039466
## [39,] -0.64009912 -2.8016681 -0.52022888 1.065386069 -2.30916235 0.18010557
## [40,] -1.40510126 1.6777101 0.83694574 -0.795534683 -0.33893897 -0.63446690
## [41,] -3.39178796 2.0289321 -0.91605070 -0.288693103 0.10353297 -0.70467182
## [42,] 2.63689576 1.4014104 1.09593785 -1.330110441 0.38539426 0.31509291
## [43,] 0.16082195 3.7368520 0.15447554 0.051447553 -0.57873689 -0.49384445
## [44,] 1.12933584 -0.2763958 -0.34883042 -0.745966549 1.63397174 -1.36733227
## [45,] 0.60040841 -1.7394057 -1.12061540 1.523761517 -2.42302675 -0.02703982
## [46,] 2.50645720 0.7145886 1.16027949 0.264115565 -0.06536479 -1.05424778
## [47,] 0.47976194 -0.6804292 1.06004196 2.118245293 1.60822162 1.51283862
## [48,] 0.97651603 0.2643098 1.70123595 0.457938903 0.07637255 -1.27323598
## [49,] 0.17453130 -1.4087802 -1.07828551 0.630428458 0.10049417 0.04725046
## [50,] -0.31165754 -1.7692162 1.09607394 0.215734985 0.40932985 -1.13513246
## [51,] -2.07836794 3.1056732 0.34016290 0.779592404 -0.83955268 -0.85765120
## [52,] 0.75101084 -0.1762119 0.45054895 1.157413311 -1.03099559 0.12541397
## [53,] 0.01774478 -1.5865833 -0.60114681 -0.295291579 0.17994324 -0.65364983
## [54,] -0.41267842 2.6810299 0.42325574 -0.826335863 -0.28922655 1.06443229
## [55,] 2.43110889 0.5749319 -0.86780185 0.656596855 0.82791356 -0.59181155
## [56,] 0.65587615 0.2454438 -2.09143593 0.654082730 -0.04108225 0.23642880
## [57,] 1.81744495 -0.3535920 1.90717376 0.350423953 -1.09447902 -1.32248054
## [58,] -0.82323942 -1.0270862 0.75432498 0.618265268 -0.72601935 1.50318335
## [59,] 1.23109347 0.3438640 1.20984441 -0.572701517 0.50614579 1.14952165
## [60,] -1.73000860 -2.7650072 0.84346209 -1.807477986 -0.04566065 -0.72872092
## [61,] -1.90089468 -0.5339530 2.72365734 0.173790472 0.22039394 0.30808209
## [62,] -2.08438724 -2.7708727 -0.87643593 -1.784074615 1.20370712 -0.68360194
## [63,] -0.74279255 -1.2083694 -2.10974279 -1.096909940 -0.44127090 -1.21847409
## [64,] 1.07749347 -0.2410084 2.54636936 0.148876536 1.07714408 -0.90199452
## [65,] -0.10827243 -0.8423032 -1.66629463 -2.003940670 0.01803297 0.91948761
## [66,] 1.90445758 0.3540374 3.36958733 -0.946426076 -1.28061850 0.59676328
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] -0.2970748998 -0.125585460 0.1091975399 -0.062175113 -0.28941599
## [2,] 0.9549475171 -0.849728057 0.2618790503 -0.339419767 -0.63657184
## [3,] -0.0378993237 -0.938023860 0.5892265716 0.818468817 -0.63740108
## [4,] -1.0937029268 1.566439591 -0.0232164139 -1.240232031 -0.42346718
## [5,] -0.2617597049 0.359695458 -0.0457654685 0.494312115 -0.47505386
## [6,] 1.5572999264 0.264243127 -0.2567290272 -0.032595220 0.60934276
## [7,] -0.2295490567 0.761419762 0.7251659229 -0.865691800 -0.90865426
## [8,] 0.9338574202 -0.202593152 0.2586027355 0.067402190 -0.19922546
## [9,] 0.0723094406 0.297666074 -0.1332319865 0.268754921 0.46108857
## [10,] -0.1776520582 0.269230849 -0.0838896554 0.187157488 0.63695335
## [11,] 1.1414607437 -0.581893357 -0.0460897178 -0.767529394 0.54125371
## [12,] 0.4326779567 1.465009754 -2.0158890616 0.560865723 0.09924741
## [13,] 1.0975288195 0.325177869 -0.4678334768 0.369897420 0.05365622
## [14,] 0.3629408286 -0.536792072 0.0386754281 0.026881456 0.14889201
## [15,] -0.3653559062 -0.993481676 0.8913181570 1.048065630 -0.21975244
## [16,] 0.0541321972 0.209244246 -0.4067242908 -0.180629985 0.08219126
## [17,] 0.8715454681 -0.400442507 0.2826277067 -0.234158182 -0.09235116
## [18,] -0.0391773764 -0.103458959 -0.0290435694 0.080778068 0.48604081
## [19,] -0.8786074573 0.244129100 -0.0985456631 0.296835877 -0.23062394
## [20,] 0.0214817982 -0.329593515 0.1841563544 0.012776312 0.04014329
## [21,] -0.5452799834 0.407077269 -0.3027341735 -0.277027562 -0.13391824
## [22,] -1.2890212411 0.827826020 0.6985830811 -1.101261651 0.01837922
## [23,] -0.6167751366 -0.098680759 -0.1432596249 0.002382731 0.66218523
## [24,] -0.7303404187 0.050664594 -0.1941264122 -0.033786324 -0.45134147
## [25,] -0.0101451635 0.650133117 0.7579062145 0.263589352 0.12948831
## [26,] -0.8704923819 0.354788388 -1.1142012401 0.459665023 -0.51302512
## [27,] 0.6495666830 0.152917258 -1.4373576540 -1.401224622 0.59833176
## [28,] 0.1103753704 -0.787892409 -0.6264572972 0.381329421 -0.43928379
## [29,] 0.2767946639 -0.999652368 -0.4121270771 -0.718663649 -0.23194782
## [30,] 1.0158935565 0.935877164 -0.0003381049 0.247569580 -0.52688419
## [31,] 0.1533787140 -0.637351931 0.0523682759 -0.429309938 -0.80731001
## [32,] 0.1833275350 -0.003341359 -0.1094288520 0.151141193 0.05227826
## [33,] -0.2210823677 -0.365587139 0.3727262984 0.732739578 0.78938773
## [34,] -0.4828011252 0.962497889 -0.1160082842 0.562844719 1.03749343
## [35,] 0.2180808677 0.121049881 0.0453717278 0.005297390 -0.06317501
## [36,] -0.5530367507 -0.602443452 -0.8470942030 1.592836128 -0.53998044
## [37,] 0.8976683597 -1.125772547 0.6200800078 -0.063852586 0.74020623
## [38,] 0.3906028134 0.213324895 -0.1501279411 -0.039444375 -0.16259232
## [39,] 1.1880152455 1.111460736 -0.1637696293 0.108548410 -0.70638338
## [40,] -0.2752549417 -0.453370302 -0.3464612764 0.853004618 0.32251027
## [41,] -1.5808262716 -0.389593869 -0.3911960098 -0.484925418 -0.64562402
## [42,] -0.1038701000 0.169572483 -0.1581760591 0.263900858 -0.04375754
## [43,] 0.5850154969 -0.122465463 0.1139690226 0.365046706 0.01372812
## [44,] -0.8527073073 -0.093623102 0.3227234939 0.312325449 0.30753065
## [45,] -0.6775750560 0.212360399 0.0147950068 0.023962622 0.98868292
## [46,] 0.1820283125 -0.307956257 0.2063097213 0.019073332 -0.11306303
## [47,] 1.0039680388 -0.196596386 -0.2927942655 -0.421362014 0.03221189
## [48,] -0.7080874753 -1.272374585 -0.6345555889 -0.516611056 -0.01862979
## [49,] -0.4528761044 -0.547466780 0.0452532606 -0.328722150 -0.19606114
## [50,] 0.0008342788 -0.039982277 0.1759886156 -0.111407934 0.36193062
## [51,] 0.4804319621 -0.110414517 1.0352592954 0.357538836 0.10089297
## [52,] 0.5225144436 0.220974764 0.3494958528 -0.838103648 0.36581846
## [53,] 0.1659852627 0.918648011 0.0943974837 0.461902525 0.31432983
## [54,] 0.4375143972 1.130201545 1.8052930776 0.010608793 0.39594161
## [55,] 0.1581477574 -0.138065251 0.2180731277 0.198568929 -0.60680782
## [56,] -0.9256243496 0.854273464 0.8405105508 0.851138395 -0.19048192
## [57,] -0.8749498623 0.279947677 0.1218980783 0.346431705 0.37363948
## [58,] 0.2243163124 -1.191505898 0.1231792776 -0.183587730 -0.07536956
## [59,] -0.4375596881 -0.388697523 -0.2936830924 -0.267688509 0.91778057
## [60,] -0.1570453908 0.088606789 -0.0430108681 -0.226147174 -0.68319348
## [61,] -1.2100915529 -0.148325486 0.9643388812 -0.903557556 -0.01041133
## [62,] 0.6466338723 0.291726017 0.1205842088 -0.132171788 0.03348119
## [63,] -1.2497898411 -1.018407623 -0.5095444341 -0.401015220 0.73617019
## [64,] 1.6812637542 0.526062663 0.0745466283 0.124209901 -0.38295197
## [65,] 0.2511463960 -0.455447267 -0.1690049931 -0.452563353 -0.44673239
## [66,] -0.7176749900 0.314360311 -0.4520852427 0.127013536 -0.34976539round(t(Psi)%*%D%*%Psi,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 2.891 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [2,] 0.000 2.192 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [3,] 0.000 0.000 1.584 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [4,] 0.000 0.000 0.000 1.036 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.668 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.511 0.000 0.000 0.000 0.000
## [8,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0.401 0.000 0.000 0.000
## [9,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.313 0.000 0.000
## [10,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.284 0.000
## [11,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.2194. Les coordonnées des variables sur les axes
Calculons la matrice \(Eta\) des coordonnées des variables sur les axes principaux par \(Eta_\alpha = \sqrt{(\lambda_\alpha)} u_\alpha\).
Eta<-sweep(U,2,sqrt(lambda),FUN='*')
Eta ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.05020534 -0.17270363 0.62525625 0.45667927 -0.53203865 -0.08018738
## [2,] -0.07972555 -0.41209433 -0.46232237 0.51113218 0.19864747 -0.54247899
## [3,] -0.41230906 -0.66123362 0.13901750 0.14476183 -0.16563187 0.13666890
## [4,] -0.08137120 -0.05325121 -0.74991049 0.38308573 -0.08106638 0.47605688
## [5,] -0.55160051 -0.36619780 -0.45365313 -0.25338520 -0.41873678 -0.03271056
## [6,] -0.65108871 -0.48548618 0.23327672 -0.14404737 0.03335170 0.05225711
## [7,] -0.61093151 0.60690113 -0.08148426 0.11956464 -0.05064284 -0.20149598
## [8,] -0.55274612 -0.16818758 0.35184054 0.32568102 0.56850259 0.22804547
## [9,] -0.69075172 -0.27490068 -0.07313296 -0.42032829 0.16646186 -0.13857766
## [10,] -0.69915732 0.53046709 0.03813081 0.08539853 -0.10764380 0.07077459
## [11,] -0.57675913 0.65500215 -0.02309075 0.09811547 -0.04854672 -0.03554959
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.09453478 -0.220247684 0.01057929 -0.143704387 0.02115803
## [2,] 0.03439051 0.014263351 0.10207239 0.045488217 -0.03472229
## [3,] -0.50211169 0.187483330 -0.05812906 0.110243753 -0.05981933
## [4,] 0.05795099 -0.147058430 -0.04500875 -0.100831185 -0.10508809
## [5,] 0.15271769 0.098319425 0.01691467 0.003138966 0.28624289
## [6,] 0.41170034 0.175691674 -0.03082639 0.013925463 -0.24467718
## [7,] -0.02013095 0.004955938 -0.43919443 0.029817782 -0.01106030
## [8,] 0.07127017 -0.009685802 -0.02097404 -0.035156255 0.23297149
## [9,] -0.18361448 -0.385612329 0.03182481 -0.176330861 -0.06194773
## [10,] 0.01264913 -0.166694924 0.22992923 0.350355753 -0.02961112
## [11,] -0.11543515 0.279486161 0.21997485 -0.288503171 -0.03846950ACP normée avec le package FactoMineR et interprétation de l’ACP.
Utilisons maintenant la fonction PCA pour retrouver les résultats obtenus précédemment.
On va ajouter quatre variables qualitatives comme variables supplémentaires : on ajoute les variables “Genre”,“Age”, “Catégorie socio-professionnelle” et “Marque” comme variables qualitatives illustratives. Les variables illustratives n’influencent pas la construction des composantes principales de l’analyse.
Notons que nous utilisons le package factoextra plutôt que FactoMineR pour la qualité de ces graphiques.
1. Pertinence de l’ACP
library(corrplot)X=as.matrix(data[,c(13:23)])
M<-cor(X)
library(RColorBrewer)
corrplot(M, type="upper", order="hclust",
col=brewer.pal(n=8, name="RdBu"))
Execution de la fonction PCA.
library(FactoMineR)
res.pca=PCA(data[,c(2,3,4,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,56)],ncp = 5,quali.sup = c(1,2,3,15),graph = F)2. Choix du nombre d’axes à retenir
Trois critères devront être utlisés : taux d’inertie cumulé, critère de Kaiser et critère du coude.
L’objet eig est une matrice à trois colonnes contenants respectivement les valeurs propres de l’ACP, la proportion de variance de chaque composante et les variance cumulées par les composantes principales.
head(res.pca$eig)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1 2.8910520 26.282291 26.28229
## comp 2 2.1921211 19.928374 46.21066
## comp 3 1.5843652 14.403320 60.61398
## comp 4 1.0364357 9.422143 70.03613
## comp 5 0.9003979 8.185435 78.22156
## comp 6 0.6679047 6.071861 84.29342fviz_screeplot(res.pca, ncp=10)
Critère de Kaiser: on remarque qu’il y a 3 axes dont les valeurs propres sont supérieures à 1 donc on retient 3 axes d’après ce critère.
Critère du taux d’inertie cumulée : On remarque que le taux d’inertie cumulé des 2 premiers axes est de 49.89% qui est un taux important compte tenu du fait que nous avons 10 variables : on va donc, d’après ce critère, retenir les 2 premiers axes.
Critère du coude : On remarque que le coude se trouve au niveau du quatrième axe (voir la figure Scree plot), d’après ce critère, on devrait retenir les 4 premiers axes.
En faisant une sorte de vote des 3 critères on devrait retenir les 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des variables
L’objet var de res.pca contient les 4 objets : coord, cor, cos2 et contrib. A noter que vu que notre ACP est normée, cor (i.e. la corrélations d’une variable avec la composante principale d’un axe) est identique à coord (i.e. la coordonnée de cette variable sur cet axe).
names(res.pca$var)## [1] "coord" "cor" "cos2" "contrib"L’objet coord dans var contient les coordonnées des variables.
res.pca$var$coord## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## Classique 0.05020534 0.17270363 -0.62525625 0.45667927 0.53203865
## Casual 0.07972555 0.41209433 0.46232237 0.51113218 -0.19864747
## Chic 0.41230906 0.66123362 -0.13901750 0.14476183 0.16563187
## Sport 0.08137120 0.05325121 0.74991049 0.38308573 0.08106638
## Tendance 0.55160051 0.36619780 0.45365313 -0.25338520 0.41873678
## Glamour 0.65108871 0.48548618 -0.23327672 -0.14404737 -0.03335170
## Rock.n.roll 0.61093151 -0.60690113 0.08148426 0.11956464 0.05064284
## Romantique.Bohème 0.55274612 0.16818758 -0.35184054 0.32568102 -0.56850259
## Fashionista 0.69075172 0.27490068 0.07313296 -0.42032829 -0.16646186
## Punk 0.69915732 -0.53046709 -0.03813081 0.08539853 0.10764380
## Hip.Hop 0.57675913 -0.65500215 0.02309075 0.09811547 0.04854672L’objet cos2 dans var est une matrice dont les lignes représentent le cos carrés de la variable (soit le carrée des coordonnées puisque l’ACP est normée).
res.pca$var$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## Classique 0.002520576 0.029826544 0.3909453841 0.208555956 0.283065124
## Casual 0.006356164 0.169821741 0.2137419762 0.261256109 0.039460816
## Chic 0.169998762 0.437229904 0.0193258667 0.020955988 0.027433916
## Sport 0.006621272 0.002835691 0.5623657361 0.146754673 0.006571758
## Tendance 0.304263121 0.134100832 0.2058011617 0.064204062 0.175340492
## Glamour 0.423916512 0.235696832 0.0544180265 0.020749646 0.001112336
## Rock.n.roll 0.373237308 0.368328986 0.0066396853 0.014295703 0.002564697
## Romantique.Bohème 0.305528275 0.028287062 0.1237917631 0.106068127 0.323195196
## Fashionista 0.477137935 0.075570384 0.0053484298 0.176675874 0.027709552
## Punk 0.488820951 0.281395328 0.0014539589 0.007292908 0.011587188
## Hip.Hop 0.332651097 0.429027810 0.0005331829 0.009626646 0.002356784Interprétation de cette première carte des variables (i.e. axes 1 et 2) : Les deux premières dimensions contiennent 49.89% de l’inertie totale (l’inertie est la variance totale du tableau de données, i.e. la trace de la matrice des corrélations).
Les variables “Punk”,“Rock-n-roll” et punk sont négativement corrélées aux autres variables dans la dimension 2. Le deuxième axe oppose les consommateurs qui ont un style vestimentaire plûtot typique à ceux qui ont un style vestimentaire hors normes. Si on devait donner un nom à cet axe ça serait “le style vestimentaire”.
fviz_pca_var(res.pca)
fviz_pca_var(res.pca, col.var="cos2") +
scale_color_gradient2(low="white", mid="blue",
high="red", midpoint=0.6) +
theme_minimal()
Notons que la qualité de représentation d’une variable sur le premier plan est donnée par la somme de ses cos2 sur chacun des 2 premiers axes.
4. Interprétation de la carte des individus
De la même manière, l’objet ind de res.pca contient les objets : coord, cos2 et contrib.
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "point",col.ind.sup = 'gray')
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind.sup = 'gray')
On peut ici regrouper les individus en deux groupes : ceux qui ont plutôt un stye “classique” et “chic” et ceux qui ont un style plutôt “punk” et “hip-hop”.
library(factoextra)
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind="cos2")+
scale_color_gradient2(low="blue", mid="white",
high="red", midpoint=0.5)
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Genre)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Genre)
On remarque ici que les femmes ont tendance à porter les styles vestimentaires “Glamour”,“Tendance” et “Fashionista” et les hommes portent les styles vestimentaires “Punk”,“Rock-n-roll” et “Hip-Hop”. Cela ne peut que refléter les personnalités de chaque sexe et son influence sur les choix vestimentaires.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Âge)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Âge)
Comme la plupart de ceux qui ont répondu au questionnaire sont des jeunes, on ne peut pas vraiment visualiser l’impact de l’âge sur le choix du style vestimentaire.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
De même, comme la plupart de ceux qui ont répondu au questionnaire sont des étudiants, on ne peut pas visualiser l’impact de la catégorie socio-professionnelle sur le choix du style vestimentaire.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Marque)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Marque)
On remarque ici que la plupart de ceux qui ont un style “Glamour” et “Chic” achètent de la marque “Zara” alors que ceux qui ont un style plutôt “Hip-Hop” et “Punk” achètent des marque “Adidas” et “Nike”. Cela ne peut que refléter la nature des vêtements vendus par chacune des marques.
Les Critères D’achat
Dans cette partie, notre objectif est d’analyser les critères d’achat chez les consommateurs de différents sexes, tranches d’âges et catégorie socio-professionnelle et les marques associées afin de satisfaire ces critères.
1. Calcul de la matrice centrée réduite
Centrer et réduire la matrice X.
X=as.matrix(data[,24:44])
g=colMeans(X)
g## La.qualité.du.tissu
## 4.151515
## La.matière.du.tissu
## 3.848485
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions
## 3.969697
## La.couleur
## 4.272727
## Le.dessin
## 3.909091
## Le.logo
## 3.166667
## Les.motifs
## 3.484848
## La.taille
## 4.530303
## La.forme
## 4.242424
## La.coupe
## 4.181818
## Le.confort
## 4.454545
## Le.prix
## 4.196970
## L.offre
## 3.606061
## Le.nom.de.la.marque
## 2.787879
## L.originalité
## 3.303030
## La.nouveauté
## 3.166667
## Le.lieu.de.fabrication
## 1.893939
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse
## 1.954545
## L.expérience.d.achat
## 3.045455
## La.garantie.d.une.production.éthique
## 2.772727
## L.aspect.écologique
## 2.787879Y=sweep(x = X,2,g,FUN = '-')
round(colMeans(X),3)## La.qualité.du.tissu
## 4.152
## La.matière.du.tissu
## 3.848
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions
## 3.970
## La.couleur
## 4.273
## Le.dessin
## 3.909
## Le.logo
## 3.167
## Les.motifs
## 3.485
## La.taille
## 4.530
## La.forme
## 4.242
## La.coupe
## 4.182
## Le.confort
## 4.455
## Le.prix
## 4.197
## L.offre
## 3.606
## Le.nom.de.la.marque
## 2.788
## L.originalité
## 3.303
## La.nouveauté
## 3.167
## Le.lieu.de.fabrication
## 1.894
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse
## 1.955
## L.expérience.d.achat
## 3.045
## La.garantie.d.une.production.éthique
## 2.773
## L.aspect.écologique
## 2.788Calcul des écarts-types pour réduire les variables.
n=nrow(X)
p=ncol(X)
et=apply(Y,2,function(x) sqrt(sum(x^2)/n))
et## La.qualité.du.tissu
## 0.9413469
## La.matière.du.tissu
## 1.1042950
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions
## 0.9842656
## La.couleur
## 0.8968878
## Le.dessin
## 1.1109274
## Le.logo
## 1.4830694
## Les.motifs
## 1.2938365
## La.taille
## 0.7010749
## La.forme
## 0.8359463
## La.coupe
## 0.8860722
## Le.confort
## 0.8198636
## Le.prix
## 0.8205633
## L.offre
## 1.1398935
## Le.nom.de.la.marque
## 1.3201831
## L.originalité
## 1.3367724
## La.nouveauté
## 1.2133516
## Le.lieu.de.fabrication
## 1.1027347
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse
## 1.0214639
## L.expérience.d.achat
## 1.2604931
## La.garantie.d.une.production.éthique
## 1.2767793
## L.aspect.écologique
## 1.3763715Calcul de la matrice des données entrées réduites Z. On vérifie que les variables de cette matrice sont bien de variance égale à 1.
Z=sweep(x = Y,2,et,FUN = '/')
colSums(Z^2)/n## La.qualité.du.tissu
## 1
## La.matière.du.tissu
## 1
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions
## 1
## La.couleur
## 1
## Le.dessin
## 1
## Le.logo
## 1
## Les.motifs
## 1
## La.taille
## 1
## La.forme
## 1
## La.coupe
## 1
## Le.confort
## 1
## Le.prix
## 1
## L.offre
## 1
## Le.nom.de.la.marque
## 1
## L.originalité
## 1
## La.nouveauté
## 1
## Le.lieu.de.fabrication
## 1
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse
## 1
## L.expérience.d.achat
## 1
## La.garantie.d.une.production.éthique
## 1
## L.aspect.écologique
## 12. Calcul de la matrice des corrélations
Calcul de la matrice des corrélations R=Z′DZ, ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
M=diag(rep(1,p))
D=(1/n)*diag(rep(1,n))
R=t(Z)%*%D%*%Z
vp=eigen(R %*%M)
lambda=vp$values
lambda## [1] 6.34224454 2.82465406 1.84888041 1.53335054 1.19772585 1.06292311
## [7] 0.98007989 0.81449191 0.69666234 0.58870609 0.53040537 0.44644253
## [13] 0.41667031 0.40118047 0.32359427 0.24896096 0.21394911 0.16878648
## [19] 0.15681163 0.10710530 0.09637484U=vp$vectors
U## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.2314751 0.11685136 0.3077242897 0.155427397 0.23212947 0.11112692
## [2,] -0.2343828 0.22863445 0.2544820342 0.093006589 0.26002946 0.05287745
## [3,] -0.1945298 -0.06430086 0.2576492091 0.317758444 0.12518034 -0.07823717
## [4,] -0.1151557 -0.35554281 0.2058708275 -0.174971147 -0.23160128 0.39851412
## [5,] -0.2003162 -0.27515497 -0.1879589324 0.284556010 0.06515879 -0.23081829
## [6,] -0.1991099 -0.28343505 -0.4361101934 0.009756464 0.07148895 -0.03161780
## [7,] -0.1986845 -0.32796189 -0.2987487598 0.159575290 0.09336427 -0.06386761
## [8,] -0.2070542 -0.26690711 0.3345195629 -0.160580236 -0.18406665 0.21571732
## [9,] -0.2522446 -0.12854637 -0.0001755176 0.366214969 -0.25015687 -0.11286438
## [10,] -0.2562407 -0.20115810 0.1368807351 0.094977861 -0.26737090 0.07691963
## [11,] -0.2000550 -0.10272229 0.3089905855 -0.295955665 0.23662016 -0.23368601
## [12,] -0.1963952 -0.13131689 0.0695369013 -0.339292947 0.14079018 -0.46992403
## [13,] -0.2644194 -0.02020795 -0.0041004385 -0.315136893 -0.07558086 -0.25035736
## [14,] -0.1742670 -0.03854435 -0.2669630725 -0.418593451 0.29872485 0.31204866
## [15,] -0.2414268 0.11796078 -0.1696788692 0.074737646 0.39451942 0.24838965
## [16,] -0.2518718 0.13120995 -0.1234317909 0.114851063 0.06369637 0.31329167
## [17,] -0.2039216 0.22347862 -0.1362744508 -0.134242772 -0.11291123 0.13070920
## [18,] -0.1563615 0.26403103 -0.1773716945 -0.180704289 -0.35880338 -0.16786078
## [19,] -0.2228246 0.14018291 -0.1098549159 -0.071721834 -0.36783214 0.15569506
## [20,] -0.2599958 0.33034090 -0.0669862710 0.067159544 -0.08084744 -0.15402990
## [21,] -0.2551252 0.32006508 0.0644815118 0.061706605 -0.09686860 -0.08835793
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] -0.3809233822 0.02218754 0.24645136 -0.09673885 -0.308349226
## [2,] -0.2087469397 0.23836094 0.29152383 0.24117480 0.062096750
## [3,] 0.4200360717 0.39112181 -0.15605308 -0.17730000 -0.164642376
## [4,] -0.1368005332 0.22991949 -0.20156918 0.02896574 -0.065717997
## [5,] -0.2489901260 0.07784435 -0.31534367 -0.18840033 -0.099524321
## [6,] -0.1134815463 0.18059870 0.15187377 0.10890410 -0.164147656
## [7,] -0.1080694057 0.01234813 0.07273109 0.31443786 -0.056715263
## [8,] -0.2027094492 -0.08147980 -0.04376597 -0.01681122 0.117961173
## [9,] 0.1303957137 -0.07203711 0.09088111 -0.17598163 0.252309714
## [10,] 0.2516094152 -0.23362759 0.07795659 0.24386517 0.322998020
## [11,] 0.0878665772 -0.17390952 -0.34027571 -0.06198523 -0.159328567
## [12,] 0.0414656991 0.01600136 0.22022428 -0.36794379 0.235005810
## [13,] 0.0856909522 -0.15730247 0.35535471 0.30117170 -0.153150684
## [14,] 0.1079638518 0.11869654 -0.22799009 0.05685525 0.071304859
## [15,] 0.2755032430 -0.29566135 -0.09438766 -0.12665026 0.076027298
## [16,] -0.2111797210 -0.36942808 0.10096318 -0.32956424 0.174889495
## [17,] 0.1520034352 0.56737486 0.17600570 -0.13656959 0.299327504
## [18,] -0.3740887780 0.05665036 -0.20534402 -0.25868545 0.021485377
## [19,] 0.3069478990 -0.09932672 0.14933206 -0.19205678 -0.637985712
## [20,] -0.0449480791 -0.05361986 -0.26138945 0.29870250 0.001783114
## [21,] -0.0001374444 0.02288338 -0.34616429 0.30620367 0.071154894
## [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17]
## [1,] 0.11876437 -0.084830765 0.17355890 0.14659331 -0.26701838 0.14888332
## [2,] 0.04699015 0.138184810 0.04048581 0.02655309 0.41521813 -0.06715277
## [3,] 0.13892192 0.168519619 -0.25447014 0.05354963 -0.38033699 -0.19395431
## [4,] 0.09451932 0.066234165 -0.34172242 -0.12068640 0.30777333 0.16714907
## [5,] -0.03339151 -0.208358693 0.25416117 -0.02222397 0.03048976 0.48765425
## [6,] 0.10105610 0.111415328 -0.09424758 -0.02950504 0.13223775 -0.02857987
## [7,] -0.39506680 0.110275509 -0.14567026 0.15710593 -0.10997196 -0.35574022
## [8,] -0.13230519 0.140687113 0.36539187 -0.10334800 -0.13274969 -0.29723433
## [9,] 0.38611696 -0.265788715 0.12845173 -0.27400271 0.25997080 -0.31737979
## [10,] -0.02587879 0.082798147 0.09660872 0.46297992 -0.16772682 0.33860039
## [11,] -0.23437171 -0.424124615 -0.13909053 0.18349252 0.23082823 -0.18686148
## [12,] -0.14185808 0.445484867 0.04036156 -0.21194098 0.01868942 0.13839729
## [13,] 0.33659144 -0.303767767 -0.23569271 -0.06906874 -0.15099294 0.11167887
## [14,] 0.32155182 -0.037960436 0.28333604 -0.14065496 -0.29862778 -0.06102270
## [15,] 0.12400266 0.192902397 0.02088778 0.26815569 0.35857346 0.04710696
## [16,] -0.21179918 -0.128154477 -0.43307631 -0.24773683 -0.24095997 -0.01523789
## [17,] -0.35034807 -0.391512918 0.04091830 0.12799341 0.01837811 0.09162124
## [18,] 0.28151630 0.169935721 -0.14187345 0.49587518 -0.02096411 -0.21335351
## [19,] -0.21024356 0.134401798 0.19637537 -0.08323696 0.13378504 0.03984244
## [20,] -0.14575211 -0.009027116 0.26919200 -0.17561937 -0.03718043 -0.18401384
## [21,] -0.03698638 0.222819142 -0.23460032 -0.31264721 -0.02759511 0.27709796
## [,18] [,19] [,20] [,21]
## [1,] 0.40304476 0.155281326 0.27940335 -0.0768559674
## [2,] -0.40261296 -0.363981094 -0.05221321 0.0608369299
## [3,] -0.08563031 -0.031069123 -0.20072970 0.1019400541
## [4,] 0.17078309 0.081540171 0.13839824 0.3677220275
## [5,] -0.35347739 0.022728714 -0.10487419 0.1123592826
## [6,] 0.41701152 -0.213751097 -0.43504231 -0.3416512264
## [7,] -0.15978098 0.190995070 0.43194206 0.0698341665
## [8,] -0.18404513 0.286527795 -0.37999975 -0.2368785569
## [9,] 0.09221737 -0.006397774 0.29222961 -0.1084970357
## [10,] 0.10471295 -0.339736961 0.02393840 0.0006202085
## [11,] 0.10698451 -0.215700988 0.02741183 -0.1950184444
## [12,] 0.12854459 -0.007451575 0.14959976 0.1374909539
## [13,] -0.22471640 0.292278587 -0.16987856 0.1532545679
## [14,] -0.11736029 -0.255691732 0.26810323 -0.0130451098
## [15,] 0.02766001 0.456866483 -0.11670274 0.0565177422
## [16,] -0.08160242 -0.240665730 -0.13575334 0.0820373327
## [17,] 0.06267786 0.213670418 -0.02752722 -0.0681605191
## [18,] -0.10236600 -0.020551239 0.03275186 -0.0051285150
## [19,] -0.14446556 -0.140384503 0.11935477 -0.0397811551
## [20,] 0.35500779 -0.042064510 -0.20303009 0.5409948779
## [21,] -0.01641800 0.154779660 0.17129051 -0.5032123939Vérifions que les vecteurs propres (i.e. les colonnes de U) sont bien orthornormés
round(t(U)%*%U,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## [1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
## [12,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
## [13,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
## [14,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [15,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [16,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [17,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [18,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [19,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [20,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [21,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21]
## [1,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [12,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [13,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [14,] 1 0 0 0 0 0 0 0
## [15,] 0 1 0 0 0 0 0 0
## [16,] 0 0 1 0 0 0 0 0
## [17,] 0 0 0 1 0 0 0 0
## [18,] 0 0 0 0 1 0 0 0
## [19,] 0 0 0 0 0 1 0 0
## [20,] 0 0 0 0 0 0 1 0
## [21,] 0 0 0 0 0 0 0 13. Les composantes principales
Calculons la matrice Psi des composantes principales qui est donnée par Psi=Zu. On verifiera que la variance de chaque composante est égale à la valeur propore correspondante.
Psi=Z%*%U
Psi## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] -1.054439574 0.849424142 2.42506945 -0.45265617 -1.38844407
## [2,] 3.758468860 -1.051733667 1.48779549 -1.79597138 0.27405115
## [3,] -3.605794737 1.089902345 0.15386031 -0.37390942 0.71995287
## [4,] -1.071808470 -0.135945801 1.33431962 -1.39516207 2.56567385
## [5,] -0.098384750 -2.102882707 -0.68037155 0.44994186 0.19608503
## [6,] -1.617011655 -0.903724655 -0.42231094 -0.72923400 2.08917168
## [7,] 1.462648347 1.727095509 1.58757653 -1.59203483 -1.75887306
## [8,] 5.027303990 -0.564068020 0.81505154 -2.49297951 1.11543638
## [9,] 3.751874270 0.960977821 -1.35078848 -0.19532863 -1.05213259
## [10,] -4.174596346 1.331786833 -0.56246087 -0.59728807 0.15859618
## [11,] -2.137080514 1.700297379 1.57444299 1.36619391 -0.84534553
## [12,] -1.219568418 -2.464779011 -0.95272105 -0.65362800 -0.81689992
## [13,] -0.641931020 -1.185633825 -0.90121493 1.03438290 -1.49528692
## [14,] -4.509543982 -0.366533014 -0.27547071 -0.17910106 0.63875417
## [15,] -2.673851885 0.254680320 -0.08147929 0.04172101 0.27647979
## [16,] 1.744633976 0.401644637 1.31657740 1.37173876 0.05138479
## [17,] -3.165186088 -0.004682462 -1.19851212 -1.07319605 -0.81908446
## [18,] 3.473920676 1.306015659 0.09581049 1.40688297 0.36013545
## [19,] -0.549033924 -0.952812345 1.07388686 0.16506297 0.52548655
## [20,] 0.933305515 0.724662713 0.16078385 -0.12211521 -0.08216471
## [21,] 0.761291016 -0.017382413 -0.80900306 -0.55871517 -0.61403665
## [22,] -1.966292243 1.570336750 0.63208387 -0.20518361 0.62565080
## [23,] 3.533885453 -2.968534290 0.68681914 0.65612514 -0.17919462
## [24,] -0.418580103 -2.402789460 -1.44057353 0.65884885 0.16999779
## [25,] -2.037727785 2.172075791 2.30797847 1.63209530 -0.83221305
## [26,] 5.060743647 2.525968905 -0.62324788 0.03658030 -0.30408587
## [27,] -0.892357474 0.655747245 1.50718257 2.49123857 1.49114400
## [28,] 0.069842494 2.694305491 -0.12952504 -1.73179038 -0.69689454
## [29,] -0.395377117 -1.779595724 -0.91831219 0.81630994 -1.62276852
## [30,] -1.515102397 1.792260461 -2.57285850 -1.02689327 -0.64150573
## [31,] 0.745885921 -1.698129059 -0.22028632 -2.85237590 0.39375659
## [32,] -1.628997976 1.945588756 -2.04374395 -0.54470930 -0.62118815
## [33,] -0.579498086 -2.703860262 -0.35697447 0.73788750 -0.41875051
## [34,] -1.375585459 -3.045110805 1.17683097 1.20927256 1.39787335
## [35,] 6.970327206 1.855017948 -0.91898111 1.19690802 0.55953342
## [36,] -0.634461673 1.096814049 -2.34390379 1.19532981 1.16225003
## [37,] -0.487595668 0.310763076 0.82891374 0.95225717 2.54455711
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## [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
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## [65,] 0.377409005
## [66,] 0.379569704round(t(Psi)%*%D%*%Psi,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
## [1,] 6.342 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [2,] 0.000 2.825 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [3,] 0.000 0.000 1.849 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [4,] 0.000 0.000 0.000 1.533 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 1.198 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.063 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.98 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [8,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.814 0.000 0.000 0.00 0.000
## [9,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.697 0.000 0.00 0.000
## [10,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.589 0.00 0.000
## [11,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.53 0.000
## [12,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.446
## [13,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [14,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [15,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [16,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [17,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [18,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [19,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [20,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [21,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000
## [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21]
## [1,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [2,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [3,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [4,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [8,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [9,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [10,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [11,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [12,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [13,] 0.417 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [14,] 0.000 0.401 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [15,] 0.000 0.000 0.324 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [16,] 0.000 0.000 0.000 0.249 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [17,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.214 0.000 0.000 0.000 0.000
## [18,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.169 0.000 0.000 0.000
## [19,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.157 0.000 0.000
## [20,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.107 0.000
## [21,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0964. Les coordonnées des variables sur les axes
Calculons la matrice \(Eta\) des coordonnées des variables sur les axes principaux par \(Eta_\alpha = \sqrt{(\lambda_\alpha)} u_\alpha\).
Eta<-sweep(U,2,sqrt(lambda),FUN='*')
Eta ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.5829425 0.19638865 0.4184236164 0.19246346 0.25404403 0.11456982
## [2,] -0.5902653 0.38425923 0.3460282357 0.11516869 0.28457797 0.05451568
## [3,] -0.4899003 -0.10806857 0.3503347557 0.39347562 0.13699819 -0.08066109
## [4,] -0.2900061 -0.59755038 0.2799298562 -0.21666420 -0.25346598 0.41086073
## [5,] -0.5044726 -0.46244489 -0.2555744180 0.35236153 0.07131021 -0.23796941
## [6,] -0.5014347 -0.47636100 -0.5929944771 0.01208129 0.07823798 -0.03259737
## [7,] -0.5003633 -0.55119595 -0.4062192705 0.19759974 0.10217847 -0.06584634
## [8,] -0.5214413 -0.44858296 0.4548580985 -0.19884415 -0.20144377 0.22240059
## [9,] -0.6352480 -0.21604413 -0.0002386574 0.45347862 -0.27377333 -0.11636111
## [10,] -0.6453118 -0.33808052 0.1861215839 0.11760969 -0.29261249 0.07930272
## [11,] -0.5038148 -0.17264235 0.4201454437 -0.36647756 0.25895867 -0.24092598
## [12,] -0.4945980 -0.22070045 0.0945517877 -0.42014148 0.15408170 -0.48448304
## [13,] -0.6659089 -0.03396290 -0.0055755114 -0.39022939 -0.08271620 -0.25811383
## [14,] -0.4388707 -0.06478035 -0.3629991456 -0.51833813 0.32692646 0.32171644
## [15,] -0.6080047 0.19825322 -0.2307183686 0.09254653 0.43176466 0.25608516
## [16,] -0.6343091 0.22052072 -0.1678345781 0.14221839 0.06970973 0.32299795
## [17,] -0.5135523 0.37559398 -0.1852971977 -0.16623085 -0.12357079 0.13475878
## [18,] -0.3937780 0.44374923 -0.2411785756 -0.22376347 -0.39267679 -0.17306138
## [19,] -0.5611573 0.23560132 -0.1493736202 -0.08881209 -0.40255793 0.16051874
## [20,] -0.6547685 0.55519427 -0.0910836054 0.08316268 -0.08847998 -0.15880199
## [21,] -0.6425025 0.53792401 0.0876777956 0.07641038 -0.10601363 -0.09109540
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] -0.3771102786 0.02002408 0.20570383 -0.07422500 -0.224567455
## [2,] -0.2066573497 0.21511886 0.24332416 0.18504663 0.045224401
## [3,] 0.4158314438 0.35298432 -0.13025173 -0.13603730 -0.119907288
## [4,] -0.1354311381 0.20750051 -0.16824234 0.02222460 -0.047861716
## [5,] -0.2464976952 0.07025391 -0.26320570 -0.14455427 -0.072482502
## [6,] -0.1123455779 0.16298889 0.12676342 0.08355905 -0.119546988
## [7,] -0.1069876138 0.01114409 0.06070595 0.24125932 -0.041305121
## [8,] -0.2006802954 -0.07353488 -0.03652984 -0.01289877 0.085909865
## [9,] 0.1290904318 -0.06501292 0.07585510 -0.13502575 0.183754475
## [10,] 0.2490907650 -0.21084704 0.06506748 0.18711088 0.235236015
## [11,] 0.0869870187 -0.15695196 -0.28401555 -0.04755952 -0.116037297
## [12,] 0.0410506209 0.01444110 0.18381306 -0.28231291 0.171152227
## [13,] 0.0848331721 -0.14196423 0.29660144 0.23108057 -0.111538011
## [14,] 0.1068831165 0.10712268 -0.19029490 0.04362343 0.051930569
## [15,] 0.2727454117 -0.26683202 -0.07878189 -0.09717518 0.055369871
## [16,] -0.2090657784 -0.33340591 0.08427023 -0.25286536 0.127370155
## [17,] 0.1504818567 0.51205130 0.14690545 -0.10478600 0.217997031
## [18,] -0.3703440899 0.05112650 -0.17139306 -0.19848206 0.015647571
## [19,] 0.3038753017 -0.08964157 0.12464195 -0.14735976 -0.464638195
## [20,] -0.0444981417 -0.04839150 -0.21817210 0.22918602 0.001298623
## [21,] -0.0001360685 0.02065206 -0.28893053 0.23494145 0.051821351
## [,12] [,13] [,14] [,15] [,16]
## [1,] 0.07935403 -0.054758262 0.10993014 0.08339011 -0.133231457
## [2,] 0.03139711 0.089198301 0.02564323 0.01510482 0.207177189
## [3,] 0.09282257 0.108779421 -0.16117835 0.03046189 -0.189772898
## [4,] 0.06315437 0.042754157 -0.21644291 -0.06865288 0.153566546
## [5,] -0.02231099 -0.134495545 0.16098266 -0.01264218 0.015213166
## [6,] 0.06752200 0.071918599 -0.05969530 -0.01678405 0.065981331
## [7,] -0.26396924 0.071182846 -0.09226581 0.08937026 -0.054871597
## [8,] -0.08840150 0.090813538 0.23143486 -0.05878987 -0.066236772
## [9,] 0.25798928 -0.171566627 0.08135979 -0.15586739 0.129714997
## [10,] -0.01729126 0.053446208 0.06119081 0.26336773 -0.083688955
## [11,] -0.15659863 -0.273772457 -0.08809828 0.10438036 0.115174024
## [12,] -0.09478440 0.287560501 0.02556453 -0.12056336 0.009325272
## [13,] 0.22489813 -0.196082106 -0.14928496 -0.03928999 -0.075339420
## [14,] 0.21484921 -0.024503463 0.17946167 -0.08001206 -0.149003282
## [15,] 0.08285406 0.124518506 0.01323007 0.15254129 0.178913769
## [16,] -0.14151649 -0.082723721 -0.27430538 -0.14092596 -0.120229357
## [17,] -0.23408981 -0.252721605 0.02591717 0.07280950 0.009169939
## [18,] 0.18809893 0.109693515 -0.08986095 0.28208032 -0.010460249
## [19,] -0.14047708 0.086756366 0.12438182 -0.04734963 0.066753368
## [20,] -0.09738625 -0.005827004 0.17050301 -0.09990169 -0.018551541
## [21,] -0.02471295 0.143829766 -0.14859305 -0.17785045 -0.013768853
## [,17] [,18] [,19] [,20] [,21]
## [1,] 0.068865434 0.165585426 0.061490547 0.091440183 -0.0238593955
## [2,] -0.031061269 -0.165408029 -0.144134502 -0.017087788 0.0188863978
## [3,] -0.089712853 -0.035180041 -0.012303201 -0.065692700 0.0316465742
## [4,] 0.077314187 0.070163898 0.032289457 0.045293516 0.1141567220
## [5,] 0.225562683 -0.145221350 0.009000445 -0.034322120 0.0348811505
## [6,] -0.013219516 0.171323479 -0.084644254 -0.142376063 -0.1060632248
## [7,] -0.164546335 -0.065643829 0.075632993 0.141361446 0.0216795268
## [8,] -0.137484650 -0.075612426 0.113463424 -0.124362312 -0.0735372851
## [9,] -0.146802859 0.037886247 -0.002533483 0.095637826 -0.0336821431
## [10,] 0.156618369 0.043019883 -0.134533960 0.007834306 0.0001925394
## [11,] -0.086432094 0.043953123 -0.085416400 0.008971056 -0.0605421070
## [12,] 0.064015157 0.052810787 -0.002950783 0.048959432 0.0426831014
## [13,] 0.051656653 -0.092321660 0.115740706 -0.055596066 0.0475768048
## [14,] -0.028225825 -0.048215871 -0.101252514 0.087742001 -0.0040497628
## [15,] 0.021789150 0.011363736 0.180916603 -0.038193241 0.0175455363
## [16,] -0.007048228 -0.033525240 -0.095302300 -0.044427921 0.0254679140
## [17,] 0.042379067 0.025750341 0.084612305 -0.009008817 -0.0211599547
## [18,] -0.098685883 -0.042055671 -0.008138177 0.010718683 -0.0015921115
## [19,] 0.018428973 -0.059351699 -0.055591488 0.039061170 -0.0123497803
## [20,] -0.085114928 0.145850096 -0.016657313 -0.066445549 0.1679480620
## [21,] 0.128170647 -0.006745111 0.061291890 0.056058152 -0.1562187551ACP normée avec le package FactoMineR et interprétation de l’ACP.
Utilisons maintenant la fonction PCA pour retrouver les résultats obtenus précédemment.
On va ajouter quatre variables qualitatives comme variables supplémentaires : on ajoute les variables “Genre”,“Age”, “Catégorie socio-professionnelle” et “Marque” comme variables qualitatives illustratives. Les variables illustratives n’influencent pas la construction des composantes principales de l’analyse.
Notons que nous utilisons le package factoextra plutôt que FactoMineR pour la qualité de ces graphiques.
1. Pertinence de l’ACP
library(corrplot)
X=as.matrix(data[,c(24:44)])
M<-cor(X)
library(RColorBrewer)
corrplot(M, type="upper", order="hclust",
col=brewer.pal(n=8, name="RdBu"),tl.cex=0.5)
Execution de la fonction PCA.
library(FactoMineR)
res.pca=PCA(data[,c(2,3,4,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,56)],ncp = 5,quali.sup =c(1,2,3,25),graph = F)2. Choix du nombre d’axes à retenir
Trois critères devront être utlisés : taux d’inertie cumulé, critère de Kaiser et critère du coude.
L’objet eig est une matrice à trois colonnes contenants respectivement les valeurs propres de l’ACP, la proportion de variance de chaque composante et les variance cumulées par les composantes principales.
head(res.pca$eig)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1 6.342245 30.201164 30.20116
## comp 2 2.824654 13.450734 43.65190
## comp 3 1.848880 8.804192 52.45609
## comp 4 1.533351 7.301669 59.75776
## comp 5 1.197726 5.703456 65.46122
## comp 6 1.062923 5.061539 70.52275library(factoextra)
fviz_screeplot(res.pca, ncp=10)
Critère de Kaiser: on remarque qu’il y a 6 axes dont les valeurs propres sont supérieures à 1 donc on retient 6 axes d’après ce critère.
Critère du taux d’inertie cumulée : On remarque que le taux d’inertie cumulé des 3 premiers axes est de 52.49% qui est un taux important compte tenu du fait que nous avons 21 variables : on va donc, d’après ce critère, retenir les 3 premiers axes.
Critère du coude : On remarque que le coude se trouve au niveau du deuxième axe (voir la figure Scree plot), d’après ce critère, on devrait retenir les 2 premiers axes.
En faisant une sorte de vote des 3 critères on devrait retenir les 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des variables
L’objet var de res.pca contient les 4 objets : coord, cor, cos2 et contrib. A noter que vu que notre ACP est normée, cor (i.e. la corrélations d’une variable avec la composante principale d’un axe) est identique à coord (i.e. la coordonnée de cette variable sur cet axe).
names(res.pca$var)## [1] "coord" "cor" "cos2" "contrib"L’objet coord dans var contient les coordonnées des variables.
res.pca$var$coord## Dim.1 Dim.2 Dim.3
## La.qualité.du.tissu 0.5829425 -0.19638865 -0.4184236164
## La.matière.du.tissu 0.5902653 -0.38425923 -0.3460282357
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions 0.4899003 0.10806857 -0.3503347557
## La.couleur 0.2900061 0.59755038 -0.2799298562
## Le.dessin 0.5044726 0.46244489 0.2555744180
## Le.logo 0.5014347 0.47636100 0.5929944771
## Les.motifs 0.5003633 0.55119595 0.4062192705
## La.taille 0.5214413 0.44858296 -0.4548580985
## La.forme 0.6352480 0.21604413 0.0002386574
## La.coupe 0.6453118 0.33808052 -0.1861215839
## Le.confort 0.5038148 0.17264235 -0.4201454437
## Le.prix 0.4945980 0.22070045 -0.0945517877
## L.offre 0.6659089 0.03396290 0.0055755114
## Le.nom.de.la.marque 0.4388707 0.06478035 0.3629991456
## L.originalité 0.6080047 -0.19825322 0.2307183686
## La.nouveauté 0.6343091 -0.22052072 0.1678345781
## Le.lieu.de.fabrication 0.5135523 -0.37559398 0.1852971977
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse 0.3937780 -0.44374923 0.2411785756
## L.expérience.d.achat 0.5611573 -0.23560132 0.1493736202
## La.garantie.d.une.production.éthique 0.6547685 -0.55519427 0.0910836054
## L.aspect.écologique 0.6425025 -0.53792401 -0.0876777956
## Dim.4 Dim.5
## La.qualité.du.tissu -0.19246346 -0.25404403
## La.matière.du.tissu -0.11516869 -0.28457797
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions -0.39347562 -0.13699819
## La.couleur 0.21666420 0.25346598
## Le.dessin -0.35236153 -0.07131021
## Le.logo -0.01208129 -0.07823798
## Les.motifs -0.19759974 -0.10217847
## La.taille 0.19884415 0.20144377
## La.forme -0.45347862 0.27377333
## La.coupe -0.11760969 0.29261249
## Le.confort 0.36647756 -0.25895867
## Le.prix 0.42014148 -0.15408170
## L.offre 0.39022939 0.08271620
## Le.nom.de.la.marque 0.51833813 -0.32692646
## L.originalité -0.09254653 -0.43176466
## La.nouveauté -0.14221839 -0.06970973
## Le.lieu.de.fabrication 0.16623085 0.12357079
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse 0.22376347 0.39267679
## L.expérience.d.achat 0.08881209 0.40255793
## La.garantie.d.une.production.éthique -0.08316268 0.08847998
## L.aspect.écologique -0.07641038 0.10601363L’objet cos2 dans var est une matrice dont les lignes représentent le cos carrés de la variable (soit le carrée des coordonnées puisque l’ACP est normée).
res.pca$var$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3
## La.qualité.du.tissu 0.33982195 0.038568503 1.750783e-01
## La.matière.du.tissu 0.34841307 0.147655156 1.197355e-01
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions 0.24000226 0.011678816 1.227344e-01
## La.couleur 0.08410353 0.357066462 7.836072e-02
## Le.dessin 0.25449260 0.213855279 6.531828e-02
## Le.logo 0.25143679 0.226919798 3.516424e-01
## Les.motifs 0.25036348 0.303816977 1.650141e-01
## La.taille 0.27190105 0.201226674 2.068959e-01
## La.forme 0.40354003 0.046675065 5.695737e-08
## La.coupe 0.41642733 0.114298441 3.464124e-02
## Le.confort 0.25382937 0.029805381 1.765222e-01
## Le.prix 0.24462717 0.048708687 8.940041e-03
## L.offre 0.44343468 0.001153479 3.108633e-05
## Le.nom.de.la.marque 0.19260754 0.004196494 1.317684e-01
## L.originalité 0.36966973 0.039304339 5.323097e-02
## La.nouveauté 0.40234806 0.048629387 2.816845e-02
## Le.lieu.de.fabrication 0.26373593 0.141070836 3.433505e-02
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse 0.15506108 0.196913378 5.816711e-02
## L.expérience.d.achat 0.31489755 0.055507981 2.231248e-02
## La.garantie.d.une.production.éthique 0.42872183 0.308240679 8.296223e-03
## L.aspect.écologique 0.41280952 0.289362243 7.687396e-03
## Dim.4 Dim.5
## La.qualité.du.tissu 0.0370421850 0.064538369
## La.matière.du.tissu 0.0132638280 0.080984619
## La.qualité.des.coutures.et.des.finitions 0.1548230618 0.018768504
## La.couleur 0.0469433772 0.064245002
## Le.dessin 0.1241586484 0.005085146
## Le.logo 0.0001459575 0.006121182
## Les.motifs 0.0390456568 0.010440440
## La.taille 0.0395389956 0.040579590
## La.forme 0.2056428594 0.074951837
## La.coupe 0.0138320395 0.085622067
## Le.confort 0.1343057987 0.067059591
## Le.prix 0.1765188604 0.023741171
## L.offre 0.1522789760 0.006841969
## Le.nom.de.la.marque 0.2686744137 0.106880907
## L.originalité 0.0085648603 0.186420722
## La.nouveauté 0.0202260693 0.004859447
## Le.lieu.de.fabrication 0.0276326968 0.015269741
## Le.conseil.d.un.vendeur.ou.d.une.vendeuse 0.0500700897 0.154195062
## L.expérience.d.achat 0.0078875881 0.162052886
## La.garantie.d.une.production.éthique 0.0069160309 0.007828706
## L.aspect.écologique 0.0058385467 0.011238890Interprétation de cette première carte des variables (i.e. axes 1 et 2) :
Les deux premières dimensions contiennent 43.72% de l’inertie totale (l’inertie est la variance totale du tableau de données, i.e. la trace de la matrice des corrélations).
Les variables qui représentent l’expérience d’achat sont négativement corrélées aux autres variables qui représentent le design du vêtement dans la dimension 2. Le deuxième axe oppose les consommateurs qui donnent importance à la source du vêtement à ceux qui ne s’intéressent qu’à son apparence . Si on devait donner un nom à cet axe ça serait “les critères d’achat”.
fviz_pca_var(res.pca)
fviz_pca_var(res.pca, col.var="cos2") +
scale_color_gradient2(low="white", mid="blue",
high="red", midpoint=0.6) +
theme_minimal()
Notons que la qualité de représentation d’une variable sur le premier plan est donnée par la somme de ses cos2 sur chacun des 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des individus
De la même manière, l’objet ind de res.pca contient les objets : coord, cos2 et contrib.
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "point",col.ind.sup = 'gray')
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind.sup = 'gray')
On peut ici regrouper les individus dans deux groupes : un groupe qui fait attention aux détails du vêtement : l’expérience d’achat, le lieu de fabrication.. et il y a un autre groupe qui s’intéresse plutôt à l’apparence du vêtement et sa qualité.
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind="cos2")+
scale_color_gradient2(low="blue", mid="white",
high="red", midpoint=0.5)
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Genre)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Genre)
On remarque ici que la plupart des femmes font attention aux détails du vêtement : son expérience d’achat et l’histoire de son fabrication. Alors que les hommes généralement s’intéressent seulement au produit final.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Âge)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Âge)
Comme la tranche d’âge dominante est 18-24, on ne peut pas vraiment faire des conclusions.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
De même, comme la plupart de ceux qui ont répondu au questionnaire sont des étudiants, on ne peut pas vraiment avoir des conclusions.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Marque)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Marque)
On peut conclure ici que l’achat d’une certaine marque est pour répondre aux besoins des individus. Par exemple la plupart de ceux qui s’intéressent à l’apparence du vêtement achètent des marques “Zara”,“Stradivarius”, “Pull&Bear” et “H&M”.
Fréquence d’achat d’un vêtement
Cette partie a pour objectif comprendre les vêtements les plus achetés chez les consommateurs de différents sexes, tranches d’âges et catégorie socio-professionnelle et d’où ils les achètent généralement.
1. Calcul de la matrice centrée réduite
Centrer et réduire la matrice X
X=as.matrix(data[,45:55])
g=colMeans(X)
g## Tee.shirt.polo Pull.Sweat Chemise Jean
## 3.651515 3.863636 3.030303 3.969697
## Pantalon Short Jogging.Legging Manteau...Veste
## 3.469697 2.681818 2.863636 3.666667
## Casquette...Châpeau Sous.vêtements Chaussettes
## 1.818182 3.636364 3.651515Y=sweep(x = X,2,g,FUN = '-')
round(colMeans(X),3)## Tee.shirt.polo Pull.Sweat Chemise Jean
## 3.652 3.864 3.030 3.970
## Pantalon Short Jogging.Legging Manteau...Veste
## 3.470 2.682 2.864 3.667
## Casquette...Châpeau Sous.vêtements Chaussettes
## 1.818 3.636 3.652Calcul des écarts-types pour réduire les variables.
n=nrow(X)
p=ncol(X)
et=apply(Y,2,function(x) sqrt(sum(x^2)/n))
et## Tee.shirt.polo Pull.Sweat Chemise Jean
## 1.2369614 1.1919727 1.2549260 1.2181667
## Pantalon Short Jogging.Legging Manteau...Veste
## 1.1310989 1.2810873 1.3244366 1.0200020
## Casquette...Châpeau Sous.vêtements Chaussettes
## 1.0997120 0.9476664 1.0223624Calcul de la matrice des données entrées réduites \(Z\). On vérifie que les variables de cette matrice sont bien de variance égale à 1.
Z=sweep(x = Y,2,et,FUN = '/')
colSums(Z^2)/n## Tee.shirt.polo Pull.Sweat Chemise Jean
## 1 1 1 1
## Pantalon Short Jogging.Legging Manteau...Veste
## 1 1 1 1
## Casquette...Châpeau Sous.vêtements Chaussettes
## 1 1 12. Calcul de la matrice des corrélations
Calcul de la matrice des corrélations \(R=Z'DZ\), ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
M=diag(rep(1,p))
D=(1/n)*diag(rep(1,n))
R=t(Z)%*%D%*%Z
vp=eigen(R %*%M)
lambda=vp$values
lambda## [1] 4.2639819 1.8239901 0.9664262 0.8833113 0.7445722 0.5731733 0.5187534
## [8] 0.4445388 0.3577737 0.2579525 0.1655266U=vp$vectors
U## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.3103438 -0.29468020 0.4011562 0.16055532 0.28483564 -0.04403009
## [2,] -0.3667162 -0.19325061 0.3179334 0.18153432 0.20307565 -0.26628181
## [3,] -0.2125712 0.43080426 0.2651594 -0.14298052 0.57983473 0.08094958
## [4,] -0.3368764 -0.07385661 -0.3336244 0.40128326 -0.11528790 -0.24549488
## [5,] -0.2360814 0.49978024 -0.1903246 0.04086280 -0.06833429 -0.39176443
## [6,] -0.2284624 -0.45124336 0.1274729 -0.04918096 -0.24135239 0.34636042
## [7,] -0.2603899 -0.34533487 -0.4900798 -0.13772630 0.18528437 -0.30324353
## [8,] -0.2918371 0.16783617 -0.3818637 0.36129541 0.19919147 0.67852534
## [9,] -0.2637777 -0.08857236 -0.2350297 -0.75715218 0.14831225 0.11001838
## [10,] -0.3759641 0.21686361 0.1590894 -0.07367520 -0.42478673 0.14581972
## [11,] -0.3724308 0.17049860 0.1932818 -0.16582126 -0.43446628 -0.03419305
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.24947512 -0.106717037 0.57252851 0.3660855726 -0.1078986
## [2,] 0.12559544 0.218333259 -0.27807236 -0.5720043517 0.3376899
## [3,] -0.36599801 -0.107987238 -0.32595790 0.1524626841 -0.2461664
## [4,] 0.04364576 -0.633790225 -0.23380504 -0.0255016402 -0.2761464
## [5,] -0.34290466 0.011809766 0.52888002 -0.1024896182 0.3008352
## [6,] -0.71245898 -0.135163147 0.06170731 -0.0612485420 0.1177867
## [7,] -0.14906167 0.525945796 -0.11058943 0.2957794238 -0.1701569
## [8,] 0.16889180 0.158921727 0.04762776 -0.0003296017 0.2327765
## [9,] 0.26216005 -0.328230191 0.12213473 -0.2481321225 0.0837131
## [10,] 0.10025838 0.315492903 0.10524488 -0.2629835541 -0.6239809
## [11,] 0.17726703 0.006024667 -0.33160196 0.5314378511 0.3919118Vérifions que les vecteurs propres (i.e. les colonnes de \(U\)) sont bien orthornormés.
round(t(U)%*%U,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13. Les composantes principales
Calculons la matrice \(Psi\) des composantes principales qui est donnée par \(Psi=Zu\). On verifiera que la variance de chaque composante est égale à la valeur propore correspondante.
Psi=Z%*%U
Psi## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] -1.64751655 0.58076962 0.57567838 0.958828076 -2.531059e-01
## [2,] -1.27745204 -1.82688953 0.16851592 -1.329866823 -1.681512e+00
## [3,] -2.79197903 0.76085828 -1.04248394 0.442818797 -4.021899e-01
## [4,] -0.50042508 -0.79503788 1.28978110 0.295105179 1.785707e+00
## [5,] 0.20415199 -0.70617452 -0.75577808 1.003129450 1.851392e-01
## [6,] -3.47957567 -0.52661899 -0.22023186 -1.603605736 1.185870e+00
## [7,] 1.50265897 -0.66597230 0.08471485 0.175412226 1.478501e-01
## [8,] -1.07976471 -2.42643091 0.87480833 -0.547694841 -1.525692e+00
## [9,] 3.83255731 0.57778082 -0.54600680 0.263418951 1.972216e-01
## [10,] -0.90328339 -0.90397529 -0.11232540 -0.198211480 -1.958578e-01
## [11,] -0.19565971 1.11391698 2.25736244 -1.840465769 1.287433e+00
## [12,] 0.86536449 2.53260241 -0.90531522 0.571610045 2.874954e-01
## [13,] 1.58180405 1.23691948 -0.10275988 0.886599110 -6.299476e-02
## [14,] -0.78815005 -0.40711412 -1.97872172 1.556942530 3.286477e-01
## [15,] -1.77204099 1.82636931 0.68577753 -0.524752194 -8.624661e-03
## [16,] 0.46560263 2.68202386 0.01596310 0.120836124 -5.600300e-01
## [17,] 2.60390943 -1.05248461 -0.37452432 0.732616556 -3.951567e-01
## [18,] 3.70155912 -0.87982258 0.05041646 -0.139498632 2.441210e-01
## [19,] -0.01994230 -1.53915300 -0.65772269 -0.183624429 -6.699550e-01
## [20,] 1.05357046 -1.52304366 -2.02413356 0.433051357 -1.053824e-01
## [21,] 2.31774104 1.81346422 -0.38518784 0.089533746 1.152947e+00
## [22,] -0.83274860 2.36953793 -1.69689258 0.673315169 -3.795425e-01
## [23,] 1.70482477 1.69015115 -1.48112313 0.857021055 2.213745e-01
## [24,] -2.00451169 -0.34720253 -0.59577441 -0.126333747 8.604646e-01
## [25,] -2.04696618 0.36611515 0.04000455 -0.145918019 -7.253701e-01
## [26,] -1.50032185 -0.44987783 1.67427736 1.287763402 -1.779668e+00
## [27,] -0.79113348 1.43821533 0.89360166 1.601189323 -5.188155e-05
## [28,] -0.09115388 0.07602392 -0.85003633 -0.127490388 1.037109e+00
## [29,] -0.72647125 -1.52234015 -0.47639985 0.523439627 7.530792e-01
## [30,] -1.76111294 -0.27991387 -0.49673450 -1.653021167 4.755044e-01
## [31,] -0.28153313 0.47565648 2.11615815 -0.096514674 -1.434340e+00
## [32,] -4.63623650 -0.08911800 -0.63823349 -1.835925272 5.915787e-01
## [33,] -3.80670483 -0.45692860 -1.17141166 -1.049352153 -6.976502e-01
## [34,] 1.25898614 -1.21631317 1.41327746 -0.061437715 1.141482e-01
## [35,] 5.41180980 -0.11103492 -0.62797811 -1.057898326 -4.711587e-01
## [36,] 2.18340303 -0.75797890 -0.67469433 0.004956512 -1.064664e+00
## [37,] 0.14851385 0.35598748 2.13644550 0.223388515 1.438611e+00
## [38,] -3.68303667 1.40036214 -0.82252879 -0.993864764 1.210300e+00
## [39,] 1.03821226 -2.21917330 1.54344792 -0.217530468 8.768729e-01
## [40,] 1.49211869 -1.25585399 -0.39826512 -1.392308285 -4.220286e-02
## [41,] -2.91920554 -1.04116497 -0.89863481 -0.752833032 4.552045e-01
## [42,] 4.15852362 -1.00479615 -0.42503139 -1.173277543 -2.186913e-01
## [43,] 2.15428602 -1.24680793 1.16895616 -0.378448023 1.764593e-01
## [44,] 0.05730746 2.08172770 -0.14081749 0.195435527 -1.959686e+00
## [45,] -2.89037648 1.27601152 1.69675964 1.334030924 -5.074668e-01
## [46,] -0.07961830 0.16652276 1.02008290 1.194476181 1.151832e+00
## [47,] 0.80853191 0.85451748 -0.89033622 0.711022122 9.565275e-01
## [48,] -1.23143299 1.59491426 -1.17048461 -1.282568745 5.387541e-01
## [49,] -1.68741862 -1.97121622 -0.93991636 0.939651300 4.082398e-01
## [50,] -2.76578612 -0.78262335 0.54280514 0.437526372 -1.262544e+00
## [51,] -0.16235064 -0.37354924 0.31693393 0.162091135 -7.493017e-01
## [52,] -0.29681361 1.04072839 0.20176334 -1.608343841 -4.381816e-02
## [53,] 0.49763789 -0.83530094 1.04481726 1.260953118 1.100539e+00
## [54,] -1.16600358 -1.58297962 -0.24017505 0.046818798 -1.117094e+00
## [55,] -0.09245223 -2.60026624 -0.39408648 0.567417348 7.616873e-01
## [56,] -0.41000125 -1.21111791 0.56897317 0.827531954 1.326925e+00
## [57,] 0.66409869 2.15666382 1.06736929 -0.964636036 4.734671e-01
## [58,] -2.25868186 0.87285568 -0.44522638 1.517431439 -7.203313e-01
## [59,] 4.96587662 0.17162633 -0.69055743 -0.842418035 -1.037523e-01
## [60,] -0.15089165 1.82392652 0.35228491 0.553058683 -1.531729e+00
## [61,] 1.89200278 0.92162579 -0.67175363 0.618981295 2.568726e-01
## [62,] 1.37285002 -0.95717919 -0.68167049 -0.808841935 -7.992011e-01
## [63,] 0.46041279 0.09652760 0.21675382 1.012720834 3.906746e-01
## [64,] 2.07532708 0.83581969 0.76177308 -1.894453263 -1.298978e+00
## [65,] 0.55018756 -2.22341715 0.66019201 1.439100193 5.710332e-02
## [66,] 1.70492294 2.59864943 1.18425858 -0.688087643 3.319810e-01
## [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] -0.20216143 -0.34410668 0.33687555 -0.338415983 -0.39152063 -0.72995475
## [2,] -0.95512217 -0.67093702 -0.46466639 -1.043197253 -0.36544436 0.27663813
## [3,] -0.60949206 0.55278271 1.19632092 0.007146776 0.18469325 0.07095388
## [4,] 0.38581443 -0.22354603 0.91551133 -0.992218567 1.02735412 0.09650620
## [5,] -0.22219086 -0.46712679 0.89849696 1.060430212 -0.67248443 -0.63096228
## [6,] 1.27990131 0.31954414 -0.59235879 -0.147283551 -0.61080626 -0.78314015
## [7,] 0.79226153 -0.16085015 1.02131854 0.858094428 0.51387082 0.44340119
## [8,] -0.74440309 -0.40448229 -0.26291166 -1.158987852 0.24675558 -0.15268056
## [9,] 0.01686507 0.25884584 -0.58740482 0.211009228 -0.21210804 0.22781774
## [10,] 0.49218902 -0.42658244 0.40981526 -0.156362081 0.30580114 -0.15834520
## [11,] -1.16466121 0.72308522 0.29783674 0.445327922 -0.21209023 -0.03442233
## [12,] -0.01627380 -0.50590773 -0.38159824 -1.319680679 -0.56814722 -1.01134588
## [13,] -0.80660709 0.32193043 -1.26787393 0.051254817 -0.16471401 -0.23478073
## [14,] -0.70893521 -0.71014724 0.88399087 0.167729705 -0.53954390 0.92036259
## [15,] 0.21007165 -0.27481554 -1.64008318 0.056423671 0.01864359 0.50752322
## [16,] 0.76294163 -1.57491680 -0.72254788 -0.108543473 0.33888172 -0.19352085
## [17,] 0.03347400 0.63364774 -0.31066290 0.116528170 -0.54983963 -0.56757652
## [18,] -0.29618855 -0.07057299 -0.54832214 0.124254189 0.35029620 -0.39012222
## [19,] -0.36954072 -0.47584692 -0.69630662 -0.013014390 0.92108534 -0.04195109
## [20,] -0.12402289 0.05664974 -0.60147895 -0.004304709 0.30881802 0.65280675
## [21,] 0.17998198 -0.49556274 1.10965965 -0.504137989 -1.34902277 0.42328796
## [22,] -0.32232341 -0.02847081 0.59042912 -0.898508624 1.00165968 0.10149340
## [23,] 0.94319171 0.29397846 -0.40521159 0.719650109 1.03865971 -0.24674869
## [24,] 0.62666856 0.38307106 -0.05050507 -0.731737692 -0.25166941 -0.08550019
## [25,] -0.74085587 2.20331676 0.04267096 0.445356940 -0.17438215 -0.07316390
## [26,] 0.67442973 0.58638383 -0.48156947 0.067157160 -0.22258288 0.04140146
## [27,] -0.88530007 1.07763741 -0.56902691 0.811363909 -0.38119047 0.37644759
## [28,] -0.14485921 -0.94612443 0.18717722 -0.246250933 -0.15377096 0.18184793
## [29,] -0.05316230 -0.56457030 -0.26610551 -0.368289647 -0.43732080 0.17336801
## [30,] 0.41042295 -0.54461266 -0.26273293 0.273597202 -0.11458563 0.06370744
## [31,] 1.60251089 -0.11980396 0.89632970 0.153646867 0.14563669 0.32923719
## [32,] 0.59514549 -0.78207092 -0.27398147 0.428197815 -0.09669912 0.09560145
## [33,] 0.40168703 -0.63884635 0.28286267 0.373771852 -0.41000367 0.49902755
## [34,] 0.38304303 0.68677929 -0.39155778 -0.036627893 -1.04817384 0.62221145
## [35,] 0.06658449 0.19681876 0.67317652 0.027278778 0.20645286 0.05862950
## [36,] -0.06780096 -0.40231958 0.60382899 -0.046490028 -0.22014294 0.35911678
## [37,] -0.43820618 0.08894411 0.08143540 -0.452501132 0.53822698 0.29926875
## [38,] -0.58635511 1.20408406 0.44651413 0.124465469 0.32017387 -0.34829220
## [39,] -1.74795805 -1.34306357 0.51334536 0.551631575 -0.39270677 -0.60457804
## [40,] 0.50755230 0.28765530 -0.17587467 -0.088841389 -0.16335285 -0.03799372
## [41,] 0.55152266 1.10804149 0.38082749 0.129474087 -0.35702073 -0.68736046
## [42,] -0.02352759 0.22195293 -0.15418517 0.224138694 -0.27185001 0.19607947
## [43,] -0.68558069 0.47265461 0.98794322 0.015670700 0.17305715 -0.08762896
## [44,] -0.94691809 0.46975250 0.16256883 -1.617817127 -0.52856661 -0.45569473
## [45,] 1.11081545 -1.28544094 -0.66854086 0.317952109 -0.08746303 0.30501022
## [46,] -1.21868014 -0.02429895 -0.86852983 0.215307244 -0.23555748 -0.07532371
## [47,] -0.10545804 -1.65388489 -0.09008423 0.751404590 -0.28200573 -0.16647550
## [48,] -0.87131760 0.83492231 -1.09391242 -0.410014887 0.19533846 1.08463883
## [49,] 0.43686852 0.08759026 0.61950160 0.428555270 -0.31736152 -0.27640322
## [50,] -1.26447632 -1.48349150 0.78038623 0.410053064 0.56349937 -0.27299305
## [51,] 0.61523994 0.64629728 -0.19284564 0.222211167 -0.21452986 0.20282201
## [52,] -1.45478912 -0.29787091 -0.63469894 0.757180572 0.37325905 -0.54158562
## [53,] 0.27627688 1.00342220 -0.12727377 -0.221485757 -0.15521623 0.04380390
## [54,] 0.53906765 0.37744593 -0.02896413 -0.880480669 0.77379953 -0.07150306
## [55,] 1.62959525 0.55946697 0.20570733 -0.108944370 0.41885640 -0.07803651
## [56,] -1.24719672 -0.43477437 -0.51728190 -0.806509589 1.05121281 0.53548075
## [57,] 1.27084303 -0.14552069 -0.05793458 0.796333829 0.88544841 -0.19638522
## [58,] -0.85103981 1.47640929 1.20296480 0.654010897 0.40927625 0.14029466
## [59,] -0.07043820 -0.05900126 0.06684384 -0.424395826 0.30700979 -0.36422070
## [60,] 0.52881187 -0.57877209 -0.12063480 0.751562072 -0.36553237 -0.26356550
## [61,] 0.40093353 0.53692693 -0.38828818 -0.027911905 0.64971309 -0.45762431
## [62,] 0.12412175 0.42452003 -0.99677411 0.530049370 -0.61971404 0.32591833
## [63,] 0.11291785 -0.46608679 -0.30879457 0.532280337 -0.20032249 0.47160637
## [64,] -0.24494950 0.04820664 0.89227146 1.127756315 0.46992419 0.12111528
## [65,] 1.12072537 0.41642088 -0.96612891 -0.291632245 0.17722940 -0.35211133
## [66,] 1.10831550 0.04524124 1.48104226 -1.493670868 -0.57719038 0.42456526round(t(Psi)%*%D%*%Psi,3)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 4.264 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [2,] 0.000 1.824 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [3,] 0.000 0.000 0.966 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [4,] 0.000 0.000 0.000 0.883 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [5,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.745 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [6,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.573 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
## [7,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.519 0.000 0.000 0.000 0.000
## [8,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.445 0.000 0.000 0.000
## [9,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.358 0.000 0.000
## [10,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.258 0.000
## [11,] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.1664. Les coordonnées des variables sur les axes
Calculons la matrice \(Eta\) des coordonnées des variables sur les axes principaux par \(Eta_\alpha = \sqrt{(\lambda_\alpha)} u_\alpha\).
Eta<-sweep(U,2,sqrt(lambda),FUN='*')
Eta ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] -0.6408416 -0.39798087 0.3943646 0.15089734 0.24578067 -0.03333439
## [2,] -0.7572474 -0.26099496 0.3125508 0.17061438 0.17523113 -0.20159719
## [3,] -0.4389471 0.58182345 0.2606702 -0.13437972 0.50033125 0.06128547
## [4,] -0.6956299 -0.09974717 -0.3279761 0.37714463 -0.09948031 -0.18585977
## [5,] -0.4874942 0.67497909 -0.1871024 0.03840476 -0.05896470 -0.29659783
## [6,] -0.4717614 -0.60942753 0.1253147 -0.04622255 -0.20825959 0.26222326
## [7,] -0.5376898 -0.46639262 -0.4817827 -0.12944156 0.15987928 -0.22958024
## [8,] -0.6026265 0.22667144 -0.3753987 0.33956220 0.17187952 0.51369937
## [9,] -0.5446855 -0.11962156 -0.2310506 -0.71160676 0.12797656 0.08329295
## [10,] -0.7763438 0.29288553 0.1563960 -0.06924337 -0.36654250 0.11039750
## [11,] -0.7690477 0.23026719 0.1900095 -0.15584652 -0.37489485 -0.02588694
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.17968329 -0.071152246 0.34245327 0.1859312883 -0.04389850
## [2,] 0.09045953 0.145570963 -0.16632672 -0.2905154259 0.13738901
## [3,] -0.26360836 -0.071999137 -0.19496907 0.0774343088 -0.10015269
## [4,] 0.03143566 -0.422571686 -0.13984858 -0.0129520341 -0.11235006
## [5,] -0.24697549 0.007874013 0.31634529 -0.0520534765 0.12239469
## [6,] -0.51314527 -0.090118333 0.03690973 -0.0311075365 0.04792146
## [7,] -0.10736098 0.350667766 -0.06614817 0.1502234817 -0.06922828
## [8,] 0.12164354 0.105959069 0.02848816 -0.0001674015 0.09470503
## [9,] 0.18881956 -0.218843365 0.07305390 -0.1260238826 0.03405864
## [10,] 0.07221063 0.210350938 0.06295137 -0.1335667797 -0.25386640
## [11,] 0.12767576 0.004016871 -0.19834502 0.2699120963 0.15944919ACP normée avec le package FactoMineR et interprétation de l’ACP.
Utilisons maintenant la fonction PCA pour retrouver les résultats obtenus précédemment.
On va ajouter quatre variables qualitatives comme variables supplémentaires : on ajoute les variables “Genre”,“Age”, “Catégorie socio-professionnelle” et “Marque” comme variables qualitatives illustratives. Les variables illustratives n’influencent pas la construction des composantes principales de l’analyse.
Notons que nous utilisons le package factoextra plutôt que FactoMineR pour la qualité de ces graphiques.
1. Pertinence de l’ACP
library(corrplot)
X=as.matrix(data[,c(45:55)])
M<-cor(X)
library(RColorBrewer)
corrplot(M, type="upper", order="hclust",
col=brewer.pal(n=8, name="RdBu"))
Execution de la fonction PCA.
library(FactoMineR)
res.pca=PCA(data[,c(2,3,4,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56)],ncp = 5,quali.sup=c(1,2,3,15),graph = F)2. Choix du nombre d’axes à retenir
Trois critères devront être utlisés : taux d’inertie cumulé, critère de Kaiser et critère du coude.
L’objet \(\tt eig\) est une matrice à trois colonnes contenants respectivement les valeurs propres de l’ACP, la proportion de variance de chaque composante et les variance cumulées par les composantes principales.
head(res.pca$eig)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1 4.2639819 38.763472 38.76347
## comp 2 1.8239901 16.581728 55.34520
## comp 3 0.9664262 8.785693 64.13089
## comp 4 0.8833113 8.030102 72.16100
## comp 5 0.7445722 6.768838 78.92983
## comp 6 0.5731733 5.210666 84.14050fviz_screeplot(res.pca, ncp=10)
Critère de Kaiser: on remarque qu’il y a 2 axes dont les valeurs propres sont supérieures à 1 donc on retient 2 axes d’après ce critère.
Critère du taux d’inertie cumulée : On remarque que le taux d’inertie cumulé des 2 premiers axes est de 55.32% qui est un taux important compte tenu du fait que nous avons 21 variables : on va donc, d’après ce critère, retenir les 2 premiers axes.
Critère du coude : On remarque que le coude se trouve au niveau du deuxième axe (voir la figure Scree plot), d’après ce critère, on devrait retenir les 2 premiers axes.
En faisant une sorte de vote des 3 critères on devrait retenir les 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des variables
L’objet \(\tt var\) de \(\tt res.pca\) contient les 4 objets : \(\tt coord\), \(\tt cor\), \(\tt cos2\) et \(\tt contrib\). A noter que vu que notre ACP est normée, \(\tt cor\) (i.e. la corrélations d’une variable avec la composante principale d’un axe) est identique à \(\tt coord\) (i.e. la coordonnée de cette variable sur cet axe).
res.pca$var$coord## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## Tee.shirt.polo 0.6408416 -0.39798087 -0.3943646 -0.15089734 0.24578067
## Pull.Sweat 0.7572474 -0.26099496 -0.3125508 -0.17061438 0.17523113
## Chemise 0.4389471 0.58182345 -0.2606702 0.13437972 0.50033125
## Jean 0.6956299 -0.09974717 0.3279761 -0.37714463 -0.09948031
## Pantalon 0.4874942 0.67497909 0.1871024 -0.03840476 -0.05896470
## Short 0.4717614 -0.60942753 -0.1253147 0.04622255 -0.20825959
## Jogging.Legging 0.5376898 -0.46639262 0.4817827 0.12944156 0.15987928
## Manteau...Veste 0.6026265 0.22667144 0.3753987 -0.33956220 0.17187952
## Casquette...Châpeau 0.5446855 -0.11962156 0.2310506 0.71160676 0.12797656
## Sous.vêtements 0.7763438 0.29288553 -0.1563960 0.06924337 -0.36654250
## Chaussettes 0.7690477 0.23026719 -0.1900095 0.15584652 -0.37489485L’objet \(\tt cos2\) dans \(\tt var\) est une matrice dont les lignes représentent le cos carrés de la variable (soit le carrée des coordonnées puisque l’ACP est normée).
res.pca$var$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## Tee.shirt.polo 0.4106780 0.158388776 0.15552342 0.022770007 0.060408138
## Pull.Sweat 0.5734237 0.068118369 0.09768797 0.029109266 0.030705948
## Chemise 0.1926745 0.338518531 0.06794896 0.018057910 0.250331356
## Jean 0.4839010 0.009949498 0.10756831 0.142238069 0.009896333
## Pantalon 0.2376506 0.455596771 0.03500731 0.001474925 0.003476836
## Short 0.2225588 0.371401910 0.01570378 0.002136524 0.043372057
## Jogging.Legging 0.2891103 0.217522073 0.23211456 0.016755119 0.025561383
## Manteau...Veste 0.3631587 0.051379944 0.14092417 0.115302486 0.029542571
## Casquette...Châpeau 0.2966823 0.014309318 0.05338439 0.506384179 0.016378000
## Sous.vêtements 0.6027097 0.085781935 0.02445972 0.004794645 0.134353406
## Chaussettes 0.5914344 0.053022979 0.03610363 0.024288138 0.140546151Interprétation de cette première carte des variables (i.e. axes 1 et 2) :
Les deux premières dimensions contiennent 55.34% de l’inertie totale (l’inertie est la variance totale du tableau de données, i.e. la trace de la matrice des corrélations).
Les variables qui représentent les vêtements de tous les jours sont négativement corrélées aux autres variables qui représentent les vêtements les plus posés la dimension 2. Le deuxième axe oppose les consommateurs qui ont un style plutôt casual aux consommateurs qui ont un style plus posé. Si on devait donner un nom à cet axe ça serait “les vêtements des consommateurs”.
fviz_pca_var(res.pca)
fviz_pca_var(res.pca, col.var="cos2") +
scale_color_gradient2(low="white", mid="blue",
high="red", midpoint=0.6) +
theme_minimal()
Notons que la qualité de représentation d’une variable sur le premier plan est donnée par la somme de ses cos2 sur chacun des 2 premiers axes.
3. Interprétation de la carte des individus
De la même manière, l’objet \(\tt ind\) de \(\tt res.pca\) contient les objets : \(\tt coord\), \(\tt cos2\) et \(\tt contrib\).
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "point",col.ind.sup = 'gray')
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind.sup = 'gray')
On peut regrouper les individus en deux groupes: ceux qui ont un style plutôt casual et ceux qui ont un style plus posé.
fviz_pca_ind(res.pca,geom = "text",col.ind="cos2")+
scale_color_gradient2(low="blue", mid="white",
high="red", midpoint=0.5)
Notons que la qualité de représentation d’un individu sur le premier plan est donnée par la somme de ses cos2 sur chacun des 2 premiers axes.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Genre)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Genre)
On peut remarquer ici que la plupart des hommes ont un style plutôt casual comme les “Tee-shirt/Polo” et “Short”. Alors que les femmes aiment plutôt un style posé. Elles achètent les “Chemises” et les “Pantalons”. On peut conclure que les hommes préfèrent les vêtements de tous les jours et ne donnet pas importance à leur apparence alors que les femmes prennent plus de soin de leur apparence.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Âge)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Âge)
On peut voir ici que les jeunes ont tendance à acheter des vêtements casual comme les “Tee-shirt/Polo”, “Jogging/Legging” et les “Shorts”. Ceci peut être expliqué par leur nature et leur âge qui ont une allure plus sportive que les autres tranches d’âge.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Catégorie.socio.professionnelle)
De même, comme le biplot relié aux tranches d’âge, les étudiants et les lycéens ont tendance à acheter des vêtements casual comme les “Tee-shirt/Polo”, “Jogging/Legging” et les “Shorts”.
fviz_pca_ind(res.pca, label="none", habillage=data$Marque)
fviz_pca_biplot(res.pca,habillage=data$Marque)
On peut voir ici que les vêtements sportifs viennent généralement des marques “Nike” et “Adidas” et les vêtements plutôt classiques viennet par exemple de la marque “Zara”.
Conclusion Générale
Pour conclure, le but de ce projet est d’analyser le comportement du consommateur tunisien et comprendre ses choix à propos sa fréquence d’achat,son style vestimentaire, les vêtements qu’il achètent et les critères de ces achats.
Grâce à cette analyse, les comportements de nos consommateurs sont catégorisés en plusieurs groupes en relation avec leurs genres,leurs âges,leurs catégories socio-professionnelles.
Un autre objectif de cette analyse est de grouper les individus de chaque marque qui existe en Tunisie afin de comprendre leurs comportements.